GARCH模型解析：时间序列波动率建模

"本文主要介绍了GARCH模型的性质及其在时间序列分析中的应用，特别是针对金融时间序列的波动率建模。" GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，广义自回归条件异方差）模型是一种在金融时间序列分析中广泛使用的波动率模型，它能有效捕捉数据中的波动集群现象，即“波动聚集”。GARCH模型的性质如下： 1. 当GARCH模型中的p=0时，模型简化为ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，自回归条件异方差）模型。ARCH模型仅考虑了当前观测值的残差平方对下一时期方差的影响。 2. GARCH过程的定义表明，条件方差ht不仅是其前p期的残差平方ht-1, ..., ht-p的函数，还包含了当前期的残差平方。这反映了波动率对近期历史波动的依赖性。 3. 参数ω、αi和βj（i=1, ..., p; j=1, ..., q）在模型中起到关键作用。其中，ω是方差的最小值，αi和βj分别代表了过去误差项平方的短期和长期影响。保证条件方差为正的充分条件是所有αi和βj的系数非负，并且ω加上所有αi和βj的和小于1，以确保序列的稳定性。 4. 如果GARCH模型满足上述的系数约束条件，那么可以确保ht的序列是正的，从而避免了方差为负的情况，这是波动率模型的一个基本要求。 5. GARCH模型的平稳性条件涉及到了模型的阶数p和q，以及参数的选择。如果满足这个条件，那么GARCH过程的残差将具有宽平稳性，这意味着残差的均值为零，方差为常数，且任何有限线性组合的残差也具有相同的统计特性。 在金融时间序列分析中，例如汇率或股票收益，经常观察到的异方差不是递增型的，而是呈现出波动集群的现象。例如，1995年至2000年日元兑美元的汇率时间序列显示，汇率波动并非均匀分布，而是集中在一段时间内出现较大的波动。通过对汇率差分序列（收益）的分析，可以发现收益的方差在不同时间段内存在显著差异，且方差的这种变化往往与前期的波动有关，体现了波动集群的特征。 为了处理这类问题，Engle在1982年提出了自回归条件异方差模型（ARCH模型）。ARCH模型试图通过一个确定的函数来描述异方差的变化，而GARCH模型作为其扩展，引入了对过去波动率的依赖，从而更准确地反映了实际金融市场中波动率的行为。除了GARCH模型，还有一类随机波动率模型，它们使用随机方程来描述波动率的变化，这些都是金融经济学中研究波动率的重要工具。