时间序列分析：波动率模型——从ARCH到GARCH

本文讨论了时间序列分析中的波动率模型，特别是均值方程和自回归条件异方差模型（ARCH）。波动率模型在金融领域非常重要，因为它们能够捕捉到如利率、汇率和股票收益等时间序列数据中常见的非递增型异方差性，即波动率的集群现象和“高峰厚尾”特征。 时间序列分析的一个关键方面是理解数据的均值行为。条件均值模型，也称为均值方程，描述了序列期望值如何依赖于过去的信息。在金融时间序列中，简单的线性模型如AR(1)模型（xt = xt-1 + ut，其中ut是白噪声）可能不足以捕捉到实际数据的复杂动态。例如，汇率和股票收益往往表现为随机游走，其方差会随着时间显著变化，这被称为异方差性。 在递增型异方差性中，方差随着时间的增加而增加，但在金融时间序列中，这种现象并不常见。相反，我们经常观察到波动集群，即一段时间内方差较小，然后突然增大。这种行为在汇率和股票市场中尤为明显，比如1995-2000年的日元兑美元汇率序列就展示了这种特征。 为了更好地建模这种波动性，Engle在1982年提出了自回归条件异方差模型（ARCH）。ARCH模型假设当前观测值的方差不仅与自身的滞后项有关，还与过去误差项的平方（即过去的波动）有关。模型的一般形式为： yt = c + Σ(αi * εt-i^2) + εt 其中，yt是时间t的观测值，c是常数，αi是参数，εt-i^2是过去的误差项的平方，εt是当前的误差项，它是一个均值为0，方差为σt^2的随机变量，而σt^2是由ARCH过程决定的波动率。 ARCH模型分为两类：一是通过确定的函数描述异方差的演变，这通常指的是广义ARCH（GARCH）模型；二是使用随机方程来描述波动率，即随机波动率模型。GARCH模型是最常用的变体，它结合了ARMA（自回归滑动平均）模型和ARCH模型，如GARCH(1,1)模型： σt^2 = ω + αεt-1^2 + βσt-1^2 这里，ω是长期波动率，α和β是参数，εt-1^2是上一时期的残差平方，σt-1^2是上一时期的波动率。 ARCH模型的引入有助于解释和预测金融市场的波动性，这对于风险管理、投资决策和对冲策略至关重要。通过估计这些模型，分析师可以得到更准确的预测，并能更好地理解和应对金融市场中的异常波动。