MATLAB工具箱实现有限时间Riccati方程数值解及其应用

本文主要探讨了有限时间二次型最优调节器的设计问题，其核心是解决矩阵Riccati微分方程的数值解。Riccati方程在二次型控制理论中扮演着关键角色，它涉及到系统的稳定性分析和控制器设计。本文作者叶彪明针对线性可控系统 \[ \dot{x}(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), \quad x(t_0) = x_0 \] 提出了一个创新的方法。首先，通过对矩阵Riccati微分方程进行离散化处理，将微分方程转化为代数方程。这种离散化过程允许将连续时间的问题转换为可以使用MATLAB控制系统工具箱中的lqr()函数来处理的离散形式。 lqr()函数是用于求解无限时间二次型最优调节器中Riccati代数方程的函数，它可以有效地计算最优控制策略。然而，对于矩阵Riccati微分方程，当时并没有现成的函数可供使用。因此，作者巧妙地通过变换将离散化的代数方程调整到与无限时间问题中的Riccati代数方程相似的形式，从而得以利用现有的工具。 具体步骤包括： 1. 将矩阵Riccati微分方程的离散化，这涉及到对A(t), B(t), Q(t), 和 R(t)的特定选择和处理，以适应离散化的时间步长。 2. 通过适当的数学变换，将离散化后的代数方程转化为标准的矩阵Riccati代数方程形式。 3. 利用MATLAB的lqr()函数，编写程序来求解这些离散时刻的矩阵Riccati方程，得到每个时间步的解。 4. 通过这种方式，不仅得到了矩阵Riccati微分方程的数值解，也间接获得了有限时间二次型最优调节器的最优控制策略的数值解。 这种方法的有效性在于它结合了离散化技术与现有的数值求解工具，使得复杂连续时间问题能够被有效地简化并求解。这对于实际工程应用中的控制器设计具有重要意义，特别是在需要快速、精确解决方案的实时系统中。 本文的研究成果不仅提供了实用的算法，也为其他研究者在处理类似的优化控制问题时提供了参考，特别是那些依赖于Riccati方程求解的问题。同时，它也强调了在MATLAB等软件工具在解决工程问题中的重要角色，尤其是在处理连续与离散问题的转换和数值求解方面。