根轨迹分析：分离点的特性与应用

"分离点的特点-自动控制原理（第五版）课件 PPT 第4章" 本章主要探讨的是线性系统的根轨迹法，它在经典控制理论中具有非常重要的地位，与域法和频域法并列为控制系统分析的三大方法。根轨迹法由美国电气工程师W.R.伊凡思在1948年建立，主要用于分析系统性能和设计控制器。 根轨迹是指在开环传递函数中，随着系统参数的变化，闭环特征根在复平面上的移动轨迹。它能直观地揭示系统动态特性的变化规律，特别是在系统稳定性、响应速度和抗干扰能力等方面提供了关键信息。 分离点是根轨迹分析中的一个重要概念，具有以下特点： 1. 分离点位于实轴上或者以共轭形式出现，这意味着当闭环特征根在实轴上移动时，它们会在这些点相遇或分开。 2. 在实轴上，根轨迹必然在两相邻的开环极点之间至少有一个分离点。如果其中一个极点是无限大（即直流增益趋于无穷），这个规则同样适用。同样的情况也适用于开环零点，至少存在一个分离点在两相邻的开环零点之间，包括可能存在的无限零点。 3. 分离角的确定可以通过公式(2k+1)π/l (k=0,1….,l-1) 来计算，这里的l表示实轴上相邻极点或零点之间的数目。 根轨迹的绘制需要遵循一系列基本法则，包括180度法则、K值法则、幅角条件和实部条件等，这些法则帮助我们确定根轨迹的具体形状和位置，从而分析系统的动态特性。 在4-4部分，系统性能分析中，通过根轨迹可以评估系统的稳定裕度、上升时间、超调量、调节时间和阻尼比等关键性能指标。这有助于优化控制器设计，以达到期望的系统响应。 例如，在例4-1中，分析了一个二阶系统的根轨迹。该系统的开环传递函数有两个极点而无零点，随着开环增益K的变化，闭环特征根也会相应改变，进而影响闭环传递函数和系统动态性能。通过求解闭环特征方程，可以得到特征根与K的关系，进一步分析系统的稳定性及动态响应。 总结来说，根轨迹法是理解和优化控制系统性能的重要工具，通过对分离点、根轨迹的基本法则以及系统性能分析的理解，我们可以更深入地掌握系统的动态行为，并为控制系统的优化设计提供依据。