三维图形到二维投影：平面几何与图形变换

"北京大学计算机图形学课程的第二章主要讲解了图元变换与投影的概念，特别是平面几何投影。这部分内容涉及到投影线、投影中心以及投影面的定义，其中投影线是直线，投影面是平面，而投影变换则是描述物体在平面上成像的过程及其数学表达。此外，还提到了坐标变换、窗口变换以及图形处理的一般流程。在三维图形处理中，由于显示器是二维的，因此需要通过投影来展示三维形体，同时解决遮挡关系和隐藏面的消除问题，以达到真实感图形的呈现。变换的数学基础包括向量空间的概念，如向量的加法、数乘和点积，以及齐次坐标下二维变换的矩阵表示。" 平面几何投影是计算机图形学中的一个重要概念，它是指将三维物体投射到二维平面上的过程。在这个过程中，投影线是从投影中心出发，射向物体各个点的直线，类似于光线在真实世界中的传播路径。如果物体是直线或曲线，那么投影可能是直线或曲线的类似形状，就像在画布上喷绘一样。投影面通常是平面，投影线则保持为直线，以确保投影结果的几何一致性。 在计算机图形学中，为了在二维屏幕上展示三维形体，投影是一种关键的技术。由于我们通常使用的显示器和绘图纸都是二维的，因此需要通过特定的投影方法将三维形体转换为二维图像。这包括正交投影、透视投影等多种方式，每种方法都有其适用的场景和特点。 三维形体的表示和输入在图形学中是复杂的问题，因为它们涉及空间直线段、折线、曲线、多边形和曲面片等。输入设备与形体的维度一致使得二维形体的输入相对简单，但三维形体的输入、运算和有效性检查则更具挑战性。为了解决这些问题，研究者发展了多种理论和方法。 遮挡关系是三维图形处理中的另一个关键点，因为它影响了图形的真实感。当一个物体位于另一个物体前面时，前者会挡住后者的一部分，这种关系在真实感图形中必须被准确地反映出来，通常通过消除隐藏面和隐藏线的技术来实现。 图形变换是将物体从一个坐标系统转换到另一个坐标系统的数学操作，包括基本的平移、旋转和缩放等。齐次坐标允许通过矩阵乘法简便地表示和组合这些变换。二维图形的显示流程通常包括窗口到视区的变换，以及三维几何变换，比如坐标系之间的转换。 变换的数学基础是向量空间的理论，包括向量的加法、数乘和点积。这些基本运算构成了二维和三维变换的基础，如旋转、平移和缩放等。向量的数乘可以改变向量的长度，点积则用于计算两个向量之间的角度和投影。 这一章深入介绍了平面几何投影和图元变换在计算机图形学中的应用，同时也涵盖了图形变换的数学原理，这些都是理解并创建复杂三维图形和真实感渲染的关键。