C++实现DFT、FFT、DHT正反变换实验详解

"这篇资源是关于使用C++实现数字信号处理中的关键算法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）以及离散哈特利变换（DHT）的正反变换。作者通过编程实践，熟悉了这些变换的原理，并在代码中应用了欧拉公式来完成复数运算。" 本文主要讨论了数字信号处理中的三个重要变换：DFT、FFT和DHT，并提供了C++的实现。首先，DFT（离散傅里叶变换）是将离散时间信号转换到频域的数学工具，其基本公式为\(X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2\pi N kn}\)和\(x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2\pi N kn}\)，分别对应正变换和反变换。在C++实现中，通过循环累加和欧拉公式（\(e^{j\theta} = \cos(\theta) + j\sin(\theta)\)）来计算复数乘法，同时通过一个标志变量`flag`来区分正变换和反变换。 接着，FFT（快速傅里叶变换）是DFT的优化版本，它利用了信号的对称性，显著减少了计算量。在C++实现中，FFT通常会采用分治策略，如Cooley-Tukey算法，将大问题分解为小问题并行处理，然后合并结果。虽然这部分内容在摘要中没有给出具体代码，但理解FFT的工作原理对于实现它是至关重要的。 DHT（离散哈特利变换）是DFT的一种形式，它的特点是变换后的结果为实数，简化了频谱分析。DHT的公式为\(H[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] \cos(2\pi N kn)\)和\(x[n] = \frac{1}{2N} \sum_{k=0}^{N-1} H[k] \cos(2\pi N kn)\)。在C++实现中，可以类似DFT的实现，只是省去了复数运算部分，只进行余弦函数的计算。 通过这个实验，作者不仅深入理解了DFT、FFT和DHT的理论，还锻炼了将理论应用于实际编程的能力。这种实践对于学习数字信号处理至关重要，因为它允许将复杂的数学概念转化为可执行的代码，进一步理解和验证理论知识。