Heun三阶算法解决不定信赖域子问题

"这篇论文研究了解不定信赖域子问题的Heun三阶算法，通过Bunch-Parlett法处理不正定的Hessian矩阵，构建对称正定矩阵，将不定问题转换为正定问题，并提出了一种新的三阶算法。论文通过理论分析证明了算法的适定性，并通过数值实验验证了其有效性。" 本文主要探讨的是无约束优化问题的求解方法，特别是针对那些Hessian矩阵不定的情况。无约束优化问题是最优化领域的一个基本问题，目标是找到一个向量x，使得目标函数f(x)的值最小。对于这类问题，常采用信赖域方法，即将目标函数的二阶近似和当前迭代点的信息结合，构建一个二次子问题进行求解。 信赖域子问题的形式通常是二次函数qk(δ)，在满足一定条件（如信赖域半径Δk的限制）下寻找最小值。当Hessian矩阵Bk正定时，这些问题相对容易处理，有许多高效的算法，如单折线法、双折线法等。然而，当Hessian矩阵不定时，问题的复杂性增加，需要特殊的方法来处理。 论文提出了利用Bunch-Parlett法来修正不正定的Hessian矩阵，使之变为对称正定，这样可以将不定的信赖域子问题转换为正定问题。接着，作者引入了Heun三阶算法，这是一种通过折线近似来求解微分方程模型的方法，用于逼近最优曲线。通过对Heun三阶折线路径的性质分析，论文理论上证明了该算法的稳定性。 在实际应用中，作者进行了数值实验，选取了两个测试函数来验证该算法的效果。实验结果显示，提出的Heun三阶算法能够有效地解决不定信赖域子问题，为解决此类问题提供了一个新的工具。 这篇论文为处理Hessian矩阵不定的无约束优化问题提供了新的视角和算法，对于信赖域方法的发展和优化计算有着积极的贡献。通过Bunch-Parlett法和Heun三阶算法的结合，不仅解决了不正定性带来的困难，还提高了求解效率和解的质量。这一工作对于优化理论的研究以及实际应用中遇到的复杂优化问题具有重要的参考价值。