MATLAB实验：多元方法求解方程与方程组逼近

MATLAB实验内容主要涵盖了多种数值求解方法在解决实际问题中的应用，包括： 1. **二分法求解方程**：实验使用内置的`bisection_method`函数来求解方程 \(x^{5} + \sin(x) - 1 = 0\) 在区间 [0,1] 内的近似根，目标误差为 \(10^{-6}\)。该函数采用二分搜索策略，确保 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 的符号相反，通过不断缩小区间找到满足条件的根。 2. **迭代法求解根**：实验构造了三种简单迭代格式，分别是 \(g_1(x) = \sqrt{5}\)、\(g_2(x) = \frac{5}{x}\) 和 \(g_3(x) = \frac{1}{2}(x + \frac{5}{x})\)，用于求解方程 \(x^2 = 5\)，要求误差同样小于 \(10^{-6}\)。迭代过程基于不同的初始猜测值 \(x_0 = 2\) 进行，直至达到预设的最大迭代次数或达到精度标准。 3. **牛顿法与二分法比较**：对于方程 \(x^3 - 2x^2 - 5x + 12 = 0\)，实验对比了牛顿法和二分法的迭代次数，以验证两种方法在解决复杂问题时的效率，误差要求更为严格，为 \(10^{-12}\)。 4. **弦截法求解方程**：实验涉及单点弦截法（仅需一个初始猜测）和两点弦截法（需要两个初始猜测），目标是求解方程 \(e^x - 2x^2 - 1 = 0\) 的根，并分析两者在达到 \(10^{-12}\) 误差时的迭代次数。 5. **方程组求解**：使用`solve` 函数求解线性方程组 \(\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 1 \\ 3x_1 - 4x_2 = -7 \end{cases}\)，以及使用 `fzero` 函数求解非线性方程 \(2x + \sin(2x)e^x - 1 = 0\)。 6. **fsolve函数应用**：实验利用 `fsolve` 函数求解一个包含两个变量的非线性方程组，即 \(\begin{cases} 2x_1 - x_2 = 2\sin(x_1) \\ x_1 + 3x_2 = \cos(x_2) \end{cases}\)。 7. **roots函数求解多项式**：最后，通过`roots` 函数求解六次多项式 \(x^6 + 5x^4 - x^3 - 5x + 8 = 0\) 的根。 以上实验不仅展示了MATLAB中不同数值求解工具的使用，还让学生理解了迭代方法和数值解算方法的优缺点，以及在具体问题中的适用场景。每个步骤都涉及到精确度控制和迭代次数的评估，有助于深入理解数值计算的核心原理。