MATLAB实现3次样条插值：Lagrange方法与自然边界条件

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本资源是一份关于使用MATLAB实现三次样条曲线插值的实验教程文档。实验主要目的是帮助学习者理解和掌握插值法尤其是Lagrange插值的基本概念，并通过实践操作熟悉MATLAB中的相关命令。Lagrange插值方法基于拉格朗日基函数，通过构造满足插值条件的多项式来逼近给定函数在指定节点上的值。实验的核心步骤是利用Lagrange插值公式（2.2），该公式展示了如何通过已知的n个节点（如在[-5,5]上取等距间隔的11个节点）及其对应的函数值，构建出拉格朗日插值多项式。MATLAB代码中的`lagrange`函数接收输入为节点向量`x`，函数值向量`y`以及插值点`xi`，通过嵌套循环计算每个插值点处的拉格朗日基函数值，并求和得到插值结果`yi`。实验中的关键部分包括处理自然边界条件，即插值多项式的两个端点处的二阶导数为零。这确保了插值曲线在边界处光滑过渡。整个过程涉及三个函数文件：主函数`spline3.m`，以及辅助函数`GetParam.m`和`GetM.m`。`GetParam.m`负责计算各个区间段的步长`h`，而`GetM.m`可能包含了与矩阵运算相关的自定义功能，用于计算样条函数的系数。通过这个实验，学习者不仅能够理解三次样条插值的数学原理，还能提升使用MATLAB编程解决实际问题的能力。完成此实验后，他们将能够创建并可视化一个平滑的样条曲线，以近似给定函数在指定区间内的行为。

注意：采用的是 Lagrange 插值的第二种情况

实验二 Lagrange 插值

【实验目的】

1.了解插值法及 Lagrange 插值的基本概念.

2.学习、掌握 MATLAB 软件有关的命令。。

【实验原理】

插值法定义：设函数 y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知 f(x)在[a,b]上 n+1 个互

异点

a x0<x1<…<xn b

处的值 yi=f(xi),i=0,1,2,…,n.若存在一个简单函数 P(x),使 P(xi)=yi (i=0,1,2,…,n)

（2.1）

成立，则称 P(x)为 f(x)的插值函数，f(x)称为被插函数，点 xi(i=0,1,2,…,n)称为

插值节点，[a,b]称为插值区间，(2.1)式为插值条件。求插值函数的方法为插值

法。

利用 n 次插值基函数可以将满足条件 Ln(xn)=yk(k=0,1,2,…,n)的插值多项式

Ln(x)表示为

yk （2.2）

称 Ln(x)为拉格朗日插值多项式

【实验内容】在区间[-5,5]上取截点 n=11，等距间隔 h=1 的节点为插值节点，

对函数 f(x)=1/(1+x2)进行拉格朗日插值，并绘图。

下面的程序基于公式(2.2)，且在 xi 点，Ln(xi)= yk

相应的 Matlab 代码为

function yi=lagrange(x,y,xi)

%Lagrange 插值

%x,y 为已知节点及其函数值向量

%xi 为插值点（可以是多个），yi 为插值

n=length(x);m=length(xi);%length 是 x 的长度，

for i=1:m

z=xi(i);s=0;

for k=1:n%for 循环语句

p=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-x(j))/(x(k)-x(j));

end

s=p*y(k)+s;

end

yi(i)=s;

end

下面用 MATLAB 运行程序得到以下结果，如下图：

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