大亏格曲面上嵌入图的线性荫度研究

"这篇论文是2013年发表在华东师范大学学报（自然科学版）上的，由吕长青和房永磊合著，主要探讨的是关于嵌入到曲面上的图的线性荫度问题。研究的核心是通过度再分配的策略来分析嵌入在具有较大亏格曲面上的图G的线性荫度。文中指出，如果图G的最大度数Δ(G)满足Δ(G) ≥ (45 - 45ε + 10)，并且图G不包含4-圈，那么它的线性荫度可以表示为「Δ/2」。这里的ε值取决于曲面的类型：对于亏格为h（h>1）的可定向曲面，ε等于2 - 2h；而对于亏格为k（k>2）的不可定向曲面，ε等于2 - k。这项研究改进了之前吴建良的研究成果，并且作为应用，证明了具有较少边数的图的线性荫度理论。论文的分类号为0157.5，标识符为DOI:10.3969/j.issn.1000-5641.2013.01.002，文献标志码为A，表明这是一篇原创性的科研论文。" 线性荫度是图论中的一个重要概念，它是指将一个图的边集划分成尽可能少的线性森林（即没有环的树林）所需的最小数量。在这个研究中，作者们特别关注了嵌入在特定类型的曲面——较大亏格曲面上的图。亏格是衡量曲面复杂性的指标，对于可定向曲面，如球面或torus，亏格表示可以被切开并展开成平面图形的最少切割次数；对于不可定向曲面，如Klein瓶，亏格则代表了表面的拓扑复杂性。 论文提出的度再分配方法是解决线性荫度问题的关键工具，通过调整图中顶点的度数，可以优化边的划分，从而降低线性荫度。条件中提到的最大度数Δ(G)的限制以及不允许存在4-圈的条件，是为了确保图的结构适合进行特定的度分配策略。4-圈是指有四个顶点的简单闭合路径，不包含4-圈的条件可能有助于简化分析。 ε的定义与曲面的亏格相关，反映了曲面拓扑性质对线性荫度的影响。较大的亏格意味着曲面更复杂，因此线性荫度的计算需要考虑更多的拓扑因素。通过改善吴建良的先前结果，作者们不仅深化了对线性荫度理论的理解，还为具有较少边数的图提供了具体的线性荫度计算方法，这对于理解和优化图的存储、网络设计和通信网络的资源分配等问题具有重要意义。