双线性变换设计IIR低通滤波器：Z变换应用

"本文介绍了如何利用Tustin法设计IIR低通滤波器，涉及了z变换的概念以及双线性变换在数字滤波器设计中的应用。" 在数字信号处理领域，z变换是一种重要的数学工具，它将离散时间信号转换为复频域表示，与连续时间信号的拉普拉斯变换类似。z变换的定义为：对于一个离散信号x(n)，其z变换X(z)定义为x(n)与z的n次幂乘积的无限级数，其中z是一个复变量。对于双边z变换，信号x(n)的范围是n = -∞到+∞；而对于单边z变换，信号x(n)的范围则是n = 0到+∞。 双线性变换是将连续时间系统的s平面（拉普拉斯变换域）映射到离散时间系统的z平面的一种方法。在设计IIR（无限脉冲响应）数字滤波器时，双线性变换特别有用，因为它能够保持模拟滤波器的稳定性特性。设计目标通常包括： 1. s平面的jΩ轴（即所有频率为实数的s值）映射到z平面的单位圆上。 2. 稳定的模拟滤波器映射为稳定的数字滤波器。 3. 映射关系是可逆的，可以从模拟滤波器到数字滤波器，也可以反向进行。 4. 当模拟滤波器在直流处的增益为1时，对应的数字滤波器在直流（z = ej0）处的增益也应为1。 双线性变换的具体公式为s的函数转换为z的函数，通过一系列代数操作，可以将模拟滤波器的传递函数G(s)转换为数字滤波器的传递函数H(z)。在实际应用中，通常会根据所需的技术指标，如截止频率ωp和ωs，以及过度带衰减αp和αs，来设计模拟滤波器，然后使用双线性变换将其转换为数字滤波器。 在转换过程中，涉及到tan函数和arctan函数，它们与频率的关系由双线性变换公式决定。通过这些函数，可以计算出模拟频率ω与数字频率Ω之间的映射关系，并确保滤波器的关键性能参数，如通带和阻带的边界，得到正确转换。 最后，双线性变换的一个重要特性是系数2/Ts在转换过程中会被约掉，这意味着在设计模拟滤波器和转换成数字滤波器的过程中，这个系数不会影响最终的滤波器特性。因此，转换后的数字滤波器的系数可以直接从模拟滤波器的系数得到。 利用Tustin法设计IIR低通滤波器的过程是通过双线性变换将模拟滤波器的特性映射到数字领域，确保滤波器的稳定性和性能要求得以保留。这个过程涉及复杂的数学运算，但通过这一方法，我们可以有效地将模拟滤波器设计转化为适用于数字信号处理的滤波器。