双线性z变换法设计IIR数字低通滤波器

"本文主要介绍了如何使用双线性z变换法设计IIR数字低通滤波器，并结合Tustin法进行详细阐述。这种方法是将连续时间域的滤波器转换为离散时间域的滤波器，以实现数字信号处理中的滤波功能。" 在数字信号处理领域，IIR（无限 impulse response）滤波器是一种重要的信号处理工具，常用于信号的滤波、降噪等任务。双线性z变换法是一种常用的将模拟滤波器设计转化为数字滤波器设计的方法，它满足四个关键条件： 1. s平面的整个虚轴（jΩ轴）映射为z平面的单位圆。 2. 如果模拟滤波器G(s)是稳定的，那么通过双线性变换得到的数字滤波器H(z)也应该保持稳定性。 3. 映射关系是可逆的，可以从G(s)和H(z)之间相互转换。 4. 当输入信号频率为直流（j0）时，模拟和数字滤波器的增益都应为1。 双线性变换公式表示为： \[ \frac{1}{s + \frac{1}{T}} \rightarrow \frac{1 - z^{-1}}{1 + \frac{1}{2T} (1 - z^{-1})} \] 其中，\( T \) 是采样周期，\( s = j\Omega \) 是模拟域复频率，\( z \) 是离散域变量。这个变换保持了频率响应的对称性，并且能够确保稳定性的保留。 Tustin法是双线性变换的一个特殊形式，它通过角度线性映射来近似s到z的转换，具体公式为： \[ s \approx \frac{2}{T} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}} \] 给定数字滤波器的技术指标，如截止频率 \( \omega_p \) 和 \( \omega_s \)，以及滚降率 \( \alpha_p \) 和 \( \alpha_s \)，可以先设计一个模拟低通滤波器 \( G(P) \)。然后利用Tustin法将 \( G(s) \) 转换为 \( H(z) \)。转换过程中涉及到反正切函数，以确定频率响应的对应关系。 通过这些步骤，可以计算出数字滤波器的系数，并实现所需的数字低通滤波效果。值得注意的是，在转换过程中，系数 \( \frac{2}{T} \) 在最终的滤波器系数计算中会被约去，这是因为这个系数不影响滤波器的稳定性或频率响应特性。 双线性z变换法结合Tustin法提供了一种有效且实用的方法来设计IIR数字低通滤波器，满足特定的频率响应和技术指标，同时保持模拟滤波器的稳定性，是数字信号处理中的重要工具。