"这篇资源主要讨论了动态规划在解决子序列问题中的应用,特别是最长公共子序列(LCS)问题。作者提到了动态规划的两个关键特性:最优子结构和重叠子问题,并通过代码示例展示了如何进行空间优化。此外,还提供了两个练习题目,一个是HDU1159,另一个是PKU1936,提示解题者这两道题都可以通过理解LCS来快速解决。"
动态规划是一种解决复杂问题的有效方法,它通过将大问题分解为小问题并存储中间结果来避免重复计算,从而提高效率。在这个资源中,重点讲解的是动态规划在处理子序列问题中的应用,尤其是最长公共子序列(LCS)问题。
LCS问题是寻找两个序列中的最长子序列,这个子序列不需要连续,但必须在原序列中都存在。对于两个序列x和y,定义c[i,j]为x的前i个元素和y的前j个元素的LCS长度,那么c[m,n]就是x和y的LCS长度。解决这个问题的关键在于识别最优子结构和重叠子问题。
1. **最优子结构**:LCS问题具有最优子结构,即一个序列的LCS可以通过其子序列的LCS来确定。如果x[i] = y[j],那么LCS可以增加1;否则,LCS可能是不包含x[i]或y[j]的两个子序列的LCS中的较长者。
2. **重叠子问题**:动态规划的优势在于它可以解决具有大量重叠子问题的问题。在LCS问题中,计算任意位置的c[i,j]都需要用到之前计算的结果,如c[i-1,j]、c[i,j-1]等,这就是重叠子问题。
3. **空间优化**:原始的动态规划解决方案可能会使用二维数组,导致空间复杂度为O(m*n),其中m和n分别为序列的长度。通过自底向上的递推,可以仅保留相邻两行,将空间复杂度降低到O(min{m,n})。进一步地,可以只保留一行,通过临时变量x保存上一行的值。
4. **初始化问题**:动态规划的初始化是至关重要的,确保对边界条件的正确处理,例如,当i或j为0时,LCS的长度应为0。
5. **练习题目**:资源中给出了两个题目,一个是HDU1159,另一个是PKU1936,都是基于LCS的。作者提示,理解LCS的本质可以帮助快速解决这些题目。
通过理解和掌握这些知识点,读者可以有效地解决与LCS相关的问题,并且能够应用动态规划的原理到其他类似的子序列问题中。