图像处理：从傅立叶到小波变换

"小波级数展开二进小波-浙江大学《数字图像处理》第三章" 在数字图像处理领域，小波级数展开是至关重要的一个概念，尤其在处理连续图像时，它能提供一种有效的分析工具。二进小波，即离散小波变换，是小波理论在计算机科学中的应用，特别是对于图像处理和信号分析，因为它能够同时在时间和频率域提供局部化信息。 小波变换是一种多分辨率分析方法，它可以将复杂的信号分解成一系列小波基函数的线性组合，这些小波基函数具有有限的时域和频域支持。相比于传统的傅立叶变换，小波变换能够在不损失太多信息的情况下，对信号进行局部分析，这在图像处理中非常有用，因为图像往往包含多种尺度和位置的信息。 在《数字图像处理》的第三章中，首先介绍了连续图像的数学描述，包括入射光、透射率、反射率以及相对视敏函数等概念，这些都是理解图像形成的基础。接着，章节讨论了图像的数字化过程，包括均匀采样和非均匀采样，以及量化，这两步是将连续图像转换为离散图像的关键步骤。均匀采样是指在图像空间中等间距地获取样本点，而非均匀采样则是根据图像内容的灰度变化调整采样密度，以达到更高的图像再现质量。量化则将连续的灰度值映射到有限的离散灰度级上。 之后，章节涵盖了二维连续傅立叶变换和采样定理，它们在频域分析中扮演着重要角色。二维离散傅立叶变换（DFT）是数字图像处理中的基本操作，用于将图像从空间域转换到频率域，以揭示其频谱特性。采样定理指导了如何正确采样以避免信息丢失。 随机场的概念被引入来描述随机性质的图像，这对于理解和分析噪声或者复杂纹理很有帮助。数字图像的矩阵表达则将图像看作是二维数组，方便了计算和处理。K-L变换（Karhunen-Loève Transform）是一种统计学上的优化变换，可以找到一组正交基，使得图像数据在新基下的方差最大，这在压缩和降噪方面有很好的效果。 最后，重点落在小波变换上，它在图像分析、特征提取、压缩和去噪等方面有着广泛的应用。小波变换不仅可以捕捉图像的高频细节，还能揭示低频结构，通过多尺度分析，可以有效地处理图像的局部特征。 总结来说，这一章深入探讨了图像从连续到离散的转化过程，以及如何利用傅立叶变换和小波变换来理解和处理图像，这些理论和方法构成了数字图像处理的核心。对于理解和应用这些知识，需要对空域变换、频率域分析以及图像的数学模型有扎实的理解。