非均匀三次B样条曲线插值的高效Jacobi-PIA算法

"非均匀三次B样条曲线插值的Jacobi-PIA算法是由刘晓艳和邓重阳提出的一种解决非均匀三次B样条曲线插值问题的新方法，该算法利用Jacobi迭代法来逐步逼近插值目标。文章发表在《计算机辅助设计与图形学学报》2015年3月的第27卷第3期，由国家自然科学基金和浙江大学CAD&CG国家重点实验室支持。" 非均匀三次B样条曲线（Non-uniform Cubic B-Spline Curve）是一种广泛应用于计算机图形学、CAD和几何建模中的数学工具，它允许在不均匀分布的控制点上构建平滑曲线。这种曲线的优点在于其灵活性，可以适应各种复杂的形状和边界条件。 Jacobi-PIA（Progressive Iterative Algorithm）算法是为了解决非均匀三次B样条曲线的插值问题而设计的。传统的插值方法通常涉及求解一组线性方程，这在大数据集或高维度情况下可能会非常耗时。Jacobi-PIA算法通过迭代方式优化这个过程，减少了计算复杂性。 在Jacobi-PIA算法中，初始控制多边形由待插值点构成，用于生成第0层的三次B样条曲线。随后，算法以递归的方式逐步更新控制点，使得生成的曲线更接近于目标插值点集。在每一轮迭代中，算法计算出当前层三次B样条曲线上对应点与待插值点之间的差向量，并乘以该点的B样条系数的倒数作为偏移向量。将这个偏移向量加到当前层的控制顶点上，从而得到下一层的控制顶点，进一步改进曲线。 与传统的渐进迭代插值算法相比，Jacobi-PIA算法在更新控制顶点时省去了一个减法操作，从而降低了计算量。理论分析证明了该算法的收敛性，即随着迭代次数的增加，曲线会逐渐逼近插值目标。实验证明，Jacobi-PIA算法的收敛速度优于经典渐进迭代插值算法，且与最优权因子对应的带权渐进迭代插值算法表现相当。 关键词涉及的领域包括迭代算法、曲线插值和非均匀三次B样条，表明这篇文章集中讨论了如何高效地利用迭代方法来处理非均匀三次B样条曲线的插值问题。该算法对于需要快速且精确构建复杂曲线的领域，如计算机图形学、CAD软件开发和工程建模，具有重要的应用价值。