有向图的邻接矩阵与图的遍历

"该资源是一份关于数据结构中图理论的PPT，主要探讨了有向图的邻接矩阵特点，以及与图相关的各种概念，包括图的存储表示、遍历、最小生成树、最短路径问题、拓扑排序、关键路径等。" 在图论中，有向图是一种特殊的数据结构，它的边具有方向性，即每条边从一个顶点（弧头）指向另一个顶点（弧尾）。邻接矩阵是表示有向图的一种方法，对于有向图，其邻接矩阵是非对称的，这意味着如果从顶点A有一条边指向顶点B，那么邻接矩阵中的元素A[B]为1，而B[A]通常为0，除非有反向的边从B到A。 7.2 图的存储表示：在计算机科学中，图可以使用邻接矩阵或邻接表来存储。邻接矩阵适合于表示边数量相对较少的稠密图，因为它用一个二维数组表示所有顶点之间的关系。对于无向图，邻接矩阵是对称的，因为每条边连接两个顶点，而在有向图中，邻接矩阵的不对称性反映了边的方向。 7.3 图的遍历：遍历图的方法主要有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。DFS沿着某条路径深入探索直到达到叶子节点，然后回溯；BFS则从起点开始，逐层探索所有相邻的节点。 7.4 最小生成树：在加权图中，最小生成树是一棵包含所有顶点的树，其边的权重之和最小。常用的算法有Prim's算法和Kruskal's算法。 7.5 两点之间的最短路径问题：Dijkstra算法常用于解决单源最短路径问题，找到从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。Floyd-Warshall算法则可解决所有顶点对间的最短路径问题。 7.6 拓扑排序：对于有向无环图(DAG)，拓扑排序是将所有顶点排成线性的顺序，使得对于每条有向边<u, v>，u总是在v之前。这在处理任务依赖关系时非常有用。 7.7 关键路径：在项目管理中，关键路径法(CPM)用于确定哪些任务的完成时间直接影响项目的总完成时间。关键路径是项目中最长的路径，其上的任何延误都会导致整个项目的延迟。 无向图与有向图的主要区别在于边的方向。无向图中的边没有特定方向，而有向图中的边有明确的方向，这会影响到邻接矩阵的对称性以及遍历、最短路径计算等算法的设计。此外，图还可以被分类为网（带有权重的图）、完全图（每对顶点间都有一条边）、稀疏图（边数远小于顶点数的平方）和稠密图（边数接近顶点数的平方）。 在图中，顶点的度是与之相连的边数，分为出度（作为弧尾的边数）和入度（作为弧头的边数）。在有向图中，顶点的总度等于出度加上入度。例如，顶点B在给出的图中，出度为1，入度为2，总度为3。 这些基本概念构成了图论的基础，它们在计算机科学、网络分析、运筹学等领域都有着广泛的应用。