重根牛顿变换Julia集的探索与特性分析

"这篇文章是2006年5月发表在《数学研究与评论》上的学术论文，由王兴元和刘威合作完成，主要探讨了重根牛顿变换的Julia集理论及其特性。作者通过实验数学的方法，对标准牛顿变换、松弛牛顿变换和重根牛顿变换的Julia集进行了深入分析。" 文章中提到的几个关键知识点包括： 1. **Julia集**：Julia集是复动力学中的一种分形集合，与特定的迭代函数系统相关，特别是通过牛顿迭代法求解复平面上的方程。这些集合通常展现出复杂的几何结构和自相似性。 2. **重根牛顿变换**：当方程的根有重复时，相应的牛顿变换会导致不同的动态行为。作者分析了这类变换下的Julia集，指出它们具有特殊的性质。 3. **旋转对称性**：对于函数f(z) = za(zβ - 1)，三种牛顿变换的Julia集的中心都在原点，而且表现出卢倍（可能是错误的拼写，可能应为“n倍”）的旋转对称性，这意味着集合在绕原点旋转一定角度后可以与自身重合。 4. **敏感依赖性**：作者发现这三种牛顿变换的Julia集在重根吸引域对参数α的变化非常敏感，这意味着微小的初始条件变化可能导致显著不同的动态行为。 5. **不动点**：零点z对于松弛牛顿变换F(z)来说是中性或斥性的不动点，导致松弛牛顿变换的Julia集中不会出现单根吸引域。而在无限点处，由于它不是重根牛顿变换的不动点，所以重根牛顿变换的Julia集包含重根和单根吸引域。 6. **计算误差的影响**：文章指出，重根牛顿法在受到计算误差影响时表现最好，其次是松弛牛顿法，最差的是标准牛顿法。 7. **分类与引用**：该论文属于数学的28A80（分形和分形集）和37F50（动态系统的复动力学）类别，参考了前人关于标准牛顿变换的研究，并且扩展到了双根和重根方程的牛顿变换领域。 这篇论文对理解和研究分形几何、复动力学以及牛顿迭代法在解决复方程中的应用具有重要意义，尤其是对于理解不同牛顿变换下产生的Julia集的复杂性和多样性提供了新的视角。