动态规划解决多段图最短路径问题

"第六章动态规划法 - 多段图的最短路径问题" 动态规划是一种用于解决具有多个阶段决策过程优化问题的数学方法。它起源于20世纪50年代，由美国数学家Bellman提出，适用于解决那些决策互相影响且需找到全局最优解的问题。动态规划的核心思想是通过分解复杂问题为更小的子问题，然后逐个解决这些子问题，并存储中间结果以避免重复计算，最终得到全局最优解。 在多段图的最短路径问题中，动态规划的应用尤为明显。给定一个多段图，即一个图中存在多个连续的边，每个边都有其对应的代价（cij）。动态规划的目标是找出从起点到终点的最短路径，并输出路径的总长度以及具体的路径节点序列。 算法流程如下： 1. 初始化：设置一个代价矩阵cost，其中cost[i]表示从起点到顶点i的最短路径长度，初始时cost[0]为0，其他cost[i]为无穷大，表示尚未计算。另外，初始化一个path数组，记录到达每个顶点的前一个顶点，path[i]初始值为0，表示未确定。 2. 填表阶段：遍历所有顶点（从1到n-1），对于每个顶点j，考虑其所有入边(i, j)，计算cost[j]为cost[i]加上边的代价cij，取其中的最小值，并记录使cost[j]达到最小的顶点i作为path[j]。 3. 输出最短路径长度：cost[n-1]即为从起点到终点的最短路径长度。 4. 输出最短路径：从终点开始，通过path数组回溯，每次找到当前顶点的前一个顶点（即path[i]），并将其输出，直至回溯到起点，得到完整的最短路径。 动态规划在此问题中的优势在于它能处理有向图和负权边的情况，而Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法在有负权边时可能无法正确工作。此外，动态规划的方法能够保证找到全局最优解，而不只是局部最优。 除了多段图的最短路径问题，动态规划还可应用于其他领域，如经典的背包问题、最长公共子序列、最长递增子序列等。动态规划提供了一种系统化和有效的方法来解决这些问题，尤其在处理复杂度较高、决策互相依赖的问题时，动态规划往往能提供简洁且高效的解决方案。