数字信号处理：线性卷积与循环卷积解析

"该资源是高西全和丁玉美合著的《数字信号处理》课程第三版中的内容，主要探讨了线性卷积与循环卷积的关系，并涉及数字信号处理的基本概念，如信号的分类、时域离散信号与系统、单位阶跃信号和单位冲激信号的定义及性质。" 在数字信号处理中，线性卷积是两个序列相互作用的一种基本运算，它广泛应用于滤波、系统响应分析等领域。线性卷积通过将一个序列沿着另一个序列滑动并进行逐点乘法后求和来计算。在给定的描述中提到，线性卷积的非零值范围可以通过一定的推理来确定，这通常涉及到序列的长度以及它们的相对位置。 循环卷积，另一方面，是在有限长度的序列上进行的线性卷积，其结果被“环回”到序列的开头。循环卷积在处理有限内存系统或者傅里叶变换（如快速傅里叶变换FFT）中特别有用。线性卷积和循环卷积之间的关系可以通过傅里叶变换来揭示，即两个序列的线性卷积在频域上等于它们傅里叶变换的乘积，而循环卷积则对应于在频域中将乘积截断到与原始序列相同的长度，然后进行逆傅里叶变换。 在数字信号处理的基础部分，文件介绍了信号的基本概念，包括时域连续信号、模拟信号、时域离散信号和数字信号。其中，单位阶跃信号（u(t)）是一个重要的基础信号，它在0时刻由0跳变为1，常用于描述系统的瞬态响应。单位冲激信号，或狄拉克δ函数，虽然在任何点都不可定义，但具有特殊的积分性质，其面积为1，可以看作是所有信号的“构建块”。冲激信号的延时、奇偶性和比例性等性质对于理解和应用信号处理理论至关重要。 此外，文件还提到了系统分类，包括时域连续系统、模拟系统、时域离散系统和数字系统。这些系统特性如线性、时不变性、因果性和稳定性是分析系统行为的关键属性。特别是对于线性时不变系统（LTI），其卷积性质是计算系统响应的重要工具，即输出是输入与系统响应的卷积。 该资源提供了数字信号处理的核心概念，包括线性卷积与循环卷积的关系，以及基础信号和系统属性，对于学习和理解数字信号处理的初学者来说非常有价值。