线性二次型指标最优控制：理论与应用

"该文主要讨论的是线性系统二次型指标的最优控制问题，这是现代控制理论中的一个重要领域。文章涵盖了线性二次型问题的基本概念、应用及其解决方法。" 在控制理论中，线性二次型问题（LQ问题）是指一类特殊的最优控制问题，其中系统是线性的，目标函数（指标函数）是系统状态和控制输入的二次函数。这类问题的求解相对非线性问题而言更为简洁，因为可以利用线性代数和微分方程的方法来处理。具体来说，如果系统是线性的，并且目标是最小化一个与状态变量\( X(t) \)和控制输入\( U(t) \)相关的二次函数，那么可以通过解一个线性黎卡提方程来得到最优的反馈控制律。 5.1引言部分指出，对于非线性系统的最优控制，通常会转化为非线性两点边值问题，其求解复杂度较高。而对于线性系统，特别是当指标函数为最短时间和最少燃料等特定形式时，虽然理论上能够找到最优控制的解析表达，但在实践中构建解析反馈控制往往不易实现。 线性二次型问题的解决策略是通过将问题转化为求解黎卡提方程，这些方程已经有成熟的研究和标准化的数值算法，使得求解过程规范化且易于实施。线性二次型问题不仅是理论研究的重要成果，也在实际应用中有着广泛的用途，比如飞行器轨迹优化问题。 在飞行器轨迹优化的例子中，先用极小值原理计算出名义的最优控制和状态轨迹。然而，由于实际飞行器的动力学模型存在误差，将名义控制应用于飞行器会产生偏差。为了减小这种误差，可以引入反馈控制，即通过状态误差\( X(t) - X_0(t) \)来调整控制信号\( U(t) \)，构造一个最优反馈控制\( U_{\text{fb}}(t) \)。这样，实际的控制信号\( U(t) = U_0(t) + U_{\text{fb}}(t) \)将使飞行器尽可能接近最优轨迹，即使存在模型误差和其他扰动。 线性系统二次型指标的最优控制理论提供了一种有效的方法来设计最优控制策略，尤其适用于存在模型误差和外部扰动的情况，它在工程控制和自动化领域中具有重要的实践价值。