四分树解决平面点对曼哈顿距离问题

"四分树在这类题中的运用-论一类平面点对曼哈顿距离问题" 在这篇文章中，作者探讨了如何利用四分树来解决平面点对曼哈顿距离的问题，特别是在信息学竞赛中常见的这类问题。曼哈顿距离是指在固定的直角坐标系中，两点沿坐标轴投影的绝对距离之和。文章首先介绍了曼哈顿距离的基本概念，然后通过一个引例——在多维空间中寻找最大曼哈顿距离的点对，展示了暴力枚举的低效以及如何巧妙地处理绝对值，避免分类讨论。 在处理这个问题时，作者指出，可以通过计算特定形式的差值得到最大值，而无需进行复杂的分类讨论。例如，在二维空间中，只需关注 `(x1+y1)-(x2+y2)` 和 `(x1-y1)-(x2-y2)` 这两种情况。这个策略可以推广到更高维度，如三维空间中，考虑 `x+y+z`, `x+y-z`, `x-y+z`, `x-y-z` 四种情况。 接着，文章讨论了不同情况下的解决方案： 1. 离线查询，无修改的情况： 在这个例子中，问题是找到所有B类点与其最近的A类点之间的曼哈顿距离。由于没有在线修改的需求，可以使用离线处理方法，比如使用数据结构（如平衡树）来存储A类点，以便快速查询最近的点。 2. 在线查询，有修改的情况： 这种情况下，可能需要在处理查询的同时，对点集进行插入或删除操作。四分树可以在此发挥作用，因为四分树是线段树的一维扩展，它可以高效地支持区间查询和修改操作。通过维护每个四分区内的点的信息，可以快速找到最近的点并更新答案。 3. 在线查询，无修改的情况： 虽然没有提供具体例子，但在这个场景下，四分树依然能够有效地处理查询，因为它可以在O(log n)的时间复杂度内完成查询，而不需要修改数据。 除了四分树，文章还可能讨论了其他解决此类问题的方法，如使用数据结构优化，或者采用更高级的数据索引技术，比如kd树或球树，它们特别适合处理高维空间中的几何问题。 最后，文章总结了处理曼哈顿距离问题的关键思想，包括去除绝对值、分类讨论的避免以及选择合适的数据结构来优化查询和修改操作。通过这种方式，可以有效地解决竞赛题目中的复杂算法问题。