卡塔兰数：杭电HDU题目解析与实现

"这篇文章主要探讨了卡塔兰数(Catalan Number)的原理及其在解决实际问题中的应用，特别是与杭电HDU在线判题系统中的相关题目相结合的实例。" 卡塔兰数是一种在数学中出现的特殊数列，具有多种独特的性质和广泛的应用。它们在组合数学、图论、计算几何等领域都有重要的角色。卡塔兰数的通项公式可以通过多种方式表达，其中一种是递推关系，另一种是组合公式。 递推关系是描述卡塔兰数序列的关键，如描述中提到的： \[ h(n) = \sum_{k=0}^{n-1} h(k) \cdot h(n-k-1) \] 此外，还有一种更为简洁的递推形式： \[ h(n) = \frac{4n - 2}{n + 1} \cdot h(n-1) \] 这个公式指出，第n个卡塔兰数可以通过前一个数乘以一个系数得到。 组合公式同样揭示了卡塔兰数的结构美，它是组合数的特殊比例： \[ h(n) = \frac{(2n)!}{n!(n+1)!} \] 这个公式说明了卡塔兰数可以看作是从2n个不同元素中选择n对进行配对的组合数，然后除以n+1，这是因为每个排列中会有重复的情况。 在给定的代码中，我们看到了一个用于计算卡塔兰数的C++程序。程序首先初始化一个二维数组`catalan`来存储卡塔兰数，并使用递推关系填充数组。`setCatalan()`函数通过迭代计算出所有的卡塔兰数，利用递推公式更新数组的值。最后，主函数`main()`读取用户输入的n值，输出对应的卡塔兰数。 代码中还提到了杭电HDU在线判题系统的两个题目。题目hdoj11342是一个关于特定字符串子序列的问题，这可能涉及到卡塔兰数在解决组合问题时的应用。而题目hdoj1023则与排列组合相关，可能要求求解特定的排列个数，卡塔兰数也可以在解决这类问题时提供帮助。 卡塔兰数不仅在理论上有深远的数学意义，还在实际问题中展现出强大的解决问题的能力。理解并掌握卡塔兰数的概念和应用，对于提升在算法竞赛和组合优化问题中的解题能力大有裨益。