Runge现象与数值逼近：等距节点 vs 分段插值

"数值逼近课程设计，通过分析Runge现象，探讨了等距节点插值与分段插值，特别是对比了等距节点插值和样条插值的逼近效果。" 在数值分析中，数值逼近是计算数学的一个重要分支，主要研究如何用有限个点的信息来近似表示一个函数。Runge现象是由德国数学家Carl Runge在1901年发现的一个重要概念。这个现象指出，在某些情况下，尤其是对于定义在较宽区间上的光滑函数，使用等距节点进行多项式插值时，随着插值次数的增加，插值多项式可能会在节点附近的函数值上产生较大的误差，尤其是在区间的端点附近。这是因为等距节点使得插值多项式的振荡加剧，导致插值结果的不稳定性。 等距节点插值是数值逼近中常见的一种方法，它通过在函数定义域内等间距选取节点，构建插值多项式来逼近函数。然而，Runge现象揭示了这种方法的局限性。为了克服这一问题，通常会采用非均匀节点或分段插值策略，比如使用Chebyshev节点或样条插值。 在上述课程设计中，作者通过MATLAB编程展示了Runge现象的具体实例。代码首先绘制了原函数 \( f(x) = \frac{1}{1 + 25x^2} \) 的图像，然后利用等距节点插值计算了多项式，并绘制了插值多项式的图象，显示了随着插值阶数增加，插值多项式在端点附近的震荡。接着，作者使用MATLAB内置的样条插值函数`interp1`进行了三次样条插值，并比较了两种插值方法与原函数的逼近程度。 样条插值是一种有效的数值逼近方法，尤其适用于处理Runge现象。相比于等距节点插值，样条插值通过构造平滑的连续曲线，能够更好地捕捉函数的整体形状，从而在保持较高精度的同时，减少了插值过程中的振荡。在代码中，通过`interp1`函数生成的三次样条插值图象，可以看出其在逼近原函数方面的优势。 通过这样的课程设计，学生能够直观地理解Runge现象，并掌握如何选择合适的插值方法以提高逼近精度。这不仅加深了对数值逼近理论的理解，也锻炼了实际编程解决数学问题的能力。