三维旋转矩阵及其在计算机视觉中的应用

"Three-Dimensional Rotation Matrices" 在三维空间中，旋转矩阵是描述刚体旋转的重要数学工具，广泛应用于计算机视觉、机器人学、导航和测绘等领域。这份资料详细介绍了旋转矩阵的性质，包括轴角表示、欧拉角表示以及旋转矩阵的相似变换，并提供了几何解释。 1. **旋转矩阵的定义** 一个旋转矩阵是实数构成的正交矩阵，满足其逆矩阵等于其转置（即 \( R^{-1} = R^T \)），且其行列式 \( det(R) \) 的平方等于1。这意味着旋转矩阵的行列式只能取1或-1。当 \( det(R) = 1 \) 时，这个矩阵被称为特殊正交矩阵，表示的是三维空间中的适当旋转（没有镜像翻转）。 2. **三维旋转矩阵** 一般形式的三维旋转矩阵表示围绕单位向量 \( \hat{n} \) 的反时针旋转，旋转角度为 \( \theta \)。这种旋转矩阵作用于向量上，产生旋转后的向量，而坐标轴保持固定，这称为主动变换。 3. **轴角表示** 三维旋转矩阵可以由旋转轴和旋转角度来表示。例如，平面内的旋转可以通过 \( x-y \) 平面上的角度 \( \theta \) 来描述，这种旋转不改变 \( z \) 分量，只影响 \( x \) 和 \( y \) 分量。 4. **欧拉角表示** 欧拉角是一种将三维旋转分解为三个相互独立的旋转的表示方法，通常有多种组合方式，如yaw-pitch-roll（航向-俯仰-翻滚）或其他组合，每种组合对应特定的旋转顺序。 5. **旋转矩阵的性质** - 旋转矩阵的逆矩阵等于其转置：\( R^{-1} = R^T \)。 - 旋转矩阵的乘积仍然是旋转矩阵，代表复合旋转。 - 旋转矩阵的行列式为1，保持向量长度不变。 - 旋转矩阵的迹（对角线元素之和）等于3，因为旋转不改变向量的总长度。 - 旋转矩阵的特征值为1，对应的特征向量是旋转轴的方向向量。 6. **相似变换的几何解释** 通过旋转矩阵进行相似变换，可以理解为坐标系的旋转，这在处理物体在空间中的相对位置和姿态时特别有用。 7. **应用** 在计算机视觉中，旋转矩阵用于描述相机或对象的旋转；在机器人学中，它们用于描述关节或臂部的运动；在导航系统中，它们用于处理地球坐标系下的方向变化。 这份资料深入探讨了旋转矩阵的通用形式及其特性，对于理解和应用三维空间中的旋转变换具有很高的价值。通过学习这些内容，工程师和技术人员能够更好地掌握和利用旋转矩阵进行各种实际问题的求解。