马尔可夫链详解：从离散到齐次

"北邮陆传赉教授的随机过程讲义涵盖了丰富的马尔可夫链理论。" 马尔可夫链是概率论和统计中的一种随机过程，由俄国数学家安德雷·马尔可夫命名。这一概念在许多领域，如物理学、化学、生物学、经济预测和计算机科学中都有广泛应用。马尔可夫链的特点在于其“无记忆性”，即过程的未来状态只依赖于当前状态，而与过去的历史状态无关。 定义4.0 描述了马尔可夫过程的基本概念：给定一个随机过程{X(t)，t∈T}，如果在任何时刻序列t1, t2, ..., tn中，当前状态X(tn)的条件分布仅取决于前一个状态X(tn-1)，而不依赖于更早的状态，那么这个过程被称为马尔可夫过程。这可以用“过去”、“现在”和“将来”的关系来直观理解：知道“现在”就足够预测“将来”，而无需考虑“过去”。 根据时间与状态的不同，马尔可夫过程可以分为三类： 1. 离散时间、离散状态的马尔可夫链，如定义4.1中提到的，参数集T是离散的（{0, 1, 2, ...}），状态空间I也是离散的。 2. 连续时间、离散状态的连续时间马尔可夫链。 3. 连续时间、连续状态的马尔可夫过程。 对于离散时间、离散状态的马尔可夫链，定义4.1进一步明确了其条件概率性质，即在给定当前状态Xn的情况下，下一步状态Xn+1的概率仅与Xn有关，而与之前的所有状态无关。定义4.2定义了一步转移概率pij(n)，它表示从状态i转移到状态j的概率。当转移概率pij(n)不随时间n变化时，马尔可夫链被称为齐次的，此时pij(n)简化为pij，如定义4.3所述。 齐次马尔可夫链的一个关键特性是存在平稳分布，即在长时间运行后，链将达到一种稳定状态，每个状态的占用概率不再随时间变化。转移概率矩阵必须满足一定的条件，如概率矩阵的每行之和为1，以确保整个系统的概率守恒。 在实际应用中，马尔可夫链被用来建模各种系统，包括语言模型、推荐系统、库存管理、疾病传播等。通过分析和计算马尔可夫链的转移概率，可以预测系统未来的状态或行为，从而做出决策或预测。