随机过程详解：定义、分类与分布特性

"北邮陆传赉老师的随机过程讲义涵盖了随机过程的基本概念、类型以及分布律和数字特征等核心内容。" 随机过程是概率论与统计学中的一个重要概念，广泛应用于通信、信号处理、物理学、经济学等多个领域。陆传赉老师的随机过程讲义深入浅出地介绍了这一主题。 首先，随机过程的定义是基于概率空间(Ω, ö, P)的，其中T代表参数集。随机过程{X(t,e)，t∈T}是由一系列与参数t关联的随机变量X(t,e)组成的集合。这里的随机变量X(t,e)在每一点t∈T上都对应一个概率分布，而当参数t固定时，X(t,e)则成为(Ω, ö, P)上的一个确定性函数。状态空间I是所有可能取值的集合，可以是离散的，也可以是连续的。 随机过程可以根据参数T和状态空间I的特性进行分类： 1. 当T和I都是离散的，比如离散时间且离散状态的随机过程。 2. T是连续的，I是离散的，如离散状态但连续时间的随机过程。 3. T是离散的，I是连续的，例如连续状态但离散时间的随机过程。 4. T和I都是连续的，这是最一般的情况，包括了连续时间和连续状态的随机过程。 随机过程的特性分类则侧重于它们的概率属性，如： - 正交增量过程：相邻时间间隔内的增量相互独立。 - 独立增量过程：任意两个不重叠时间段内的增量是独立的。 - 马尔可夫过程：未来状态只依赖于当前状态，而不依赖于过去的历史状态。 - 平稳随机过程：其统计特性（如均值、方差和相关性）不随时间平移而改变。 随机过程的分布律和数字特征是理解其行为的关键。有限维分布函数族定义了随机过程在特定时间点取值的联合分布。这个分布函数具有对称性和相容性等性质。对称性表明无论时间点如何排列，联合分布保持不变；相容性意味着如果考虑更少的时间点，其分布是原有分布的子集，这反映了分布的连续性。 具体来说，对称性表示对于随机变量(X(t1), X(t2), ..., X(tn))的任意排列，其联合分布函数F(t1, t2, ..., tn; x1, x2, ..., xn)保持不变。相容性则保证了当增加或减少时间点时，新的分布函数可以由原来的分布函数导出，比如当m<n时，m维分布函数F_m(t1, t2, ..., tm; x1, x2, ..., xm)是n维分布函数F_n(t1, t2, ..., tn; x1, x2, ..., xn)在剩余变量取定值时的限制。 这些基本概念和性质构成了随机过程理论的基础，对于理解和分析随机过程的行为至关重要。陆传赉老师的讲义通过清晰的阐述，有助于学生深入掌握这一复杂的数学工具，并能将其应用到实际问题中去。