连续时间马尔可夫链详解

"北邮 陆传赉 随机过程讲义" 本文将深入探讨陆传赉教授的随机过程讲义中关于连续时间马尔可夫链（Continuous-Time Markov Chain, CTMC）的部分。CTMC是概率论和统计力学中的一个重要概念，尤其在系统分析、网络理论、生物物理等领域有着广泛的应用。 首先，连续时间马尔可夫链（CTMC）的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态仅依赖于当前状态，而与到达该状态的历史路径无关。这在定义5.1中得到了阐述，表明在任意时间点$t_n+1$，从状态$i_n$转移到状态$i_{n+1}$的概率，只取决于当前时间$t_n$的状态$i_n$，而不依赖于之前的序列$t_1, t_2, ..., t_n$。这一性质使得模型简化，便于分析。 定义5.2进一步引入了齐次转移概率的概念，意味着从状态i转移到状态j的概率pij(s, t)仅与时间差t有关，而不依赖于起始时刻s。这意味着转移概率矩阵P(t)是时间平移不变的。这个特性对于理解和计算马尔可夫链的长期行为至关重要。 讲义中还提出了一个重要的命题，涉及到CTMC中停留时间τi的性质。τi表示过程在状态i停留直到转移所需的时间。根据命题，τi服从指数分布，这是马尔可夫链中的关键特征，也称为“记忆丧失”或“瞬时性”。证明过程中利用了马尔可夫性质和条件概率的性质，显示了τi在不同时间段内的概率分布是一致的。 此外，该讲义还通过一系列逻辑推导和等式展示了τi满足指数分布的数学细节。这些推导包括使用条件概率、马尔可夫性质以及齐次性来展示τi的分布函数满足指数分布的特征。 在实际应用中，CTMC模型可以用来模拟各种系统的动态行为，如通信网络中的数据包传输、生物体内的分子反应动力学，甚至是经济系统的演变。理解并掌握CTMC的理论和计算方法对于进行此类系统的建模和预测极其重要。 总结来说，陆传赉教授的随机过程讲义提供了深入理解连续时间马尔可夫链的宝贵资源。它详细介绍了CTMC的基本定义、性质以及应用，对于学习和研究随机过程的学者来说是一份非常实用的学习材料。