数值积分方法：高斯公式与机械求积

"高斯公式(续1）- 数值积分与算法" 高斯公式是数值积分中的一个重要概念，主要用于解决那些无法通过解析方法求得原函数的积分问题。数值积分是数学的一个分支，它提供了近似计算定积分的方法，因为许多实际问题中的函数无法直接找到对应的原函数。在数值积分中，我们不再寻求精确解，而是通过构造求积公式来估算积分值。 求积公式是数值积分的基础，其核心思想是通过在积分区间[a, b]上选取一些特定的节点x_k，并计算这些节点上的函数值f(x_k)，然后对这些函数值进行加权求和，从而得到积分的近似值。求积系数A_k与节点x_k共同决定了求积公式的精度和适用性。 牛顿-柯特斯公式是求积公式的一种，它是基于多项式插值理论的。通过构造一个n次插值多项式，然后让这个多项式在节点上等于f(x)，可以得到一个代数精度为n的求积公式。牛顿-柯特斯公式的一般形式是： \[ \int_a^b f(x) dx \approx A_0f(x_0) + A_1f(x_1) + ... + A_nf(x_n) \] 其中，x_0, x_1, ..., x_n是求积节点，A_0, A_1, ..., A_n是对应的求积系数。 复化求积公式是在简单求积公式的基础上增加节点数量，以提高精度。例如，复化辛普森法则就是在牛顿-柯特斯公式基础上采用更复杂的插值多项式，通常会使得公式具有更高的代数精度。 龙贝格公式是另一种数值积分方法，特别适用于广义函数和奇异积分的计算。它利用了级数展开的思想，通过对无穷级数求和来逼近积分。 高斯型求积公式，如高斯-Legendre公式，是数值积分中效率较高且精度优良的一类。这些公式基于特定的节点（高斯节点）和相应的权重系数，能够达到较高的代数精度，即使对于较窄的区间也能保持良好的性能。高斯公式的关键在于选取的节点和权重能够使得误差项降到最低。 数值积分的基本步骤通常包括以下四步： 1. 分割：将积分区间[a, b]划分为n个小区间。 2. 近似：在每个小区间上选择一个合适的函数来近似被积函数。 3. 求和：计算每个近似函数的积分，并将结果相加。 4. 取极限：当小区间的宽度趋近于0时，取求和结果的极限，得到定积分的数值近似。 矩形公式是数值积分中最简单的例子，它通过在区间[a, b]上构造一系列的矩形，利用函数在各矩形顶点的值来估计积分。根据泰勒展开，可以进一步优化矩形公式，如中点公式和梯形公式，以提高精度。 高斯公式及其相关方法是数值积分中的重要工具，它们为处理复杂的积分问题提供了有效的手段，广泛应用于物理、工程、经济等领域。