计算数组逆序对数量的C++解法

本文档探讨的是一个经典的计算机科学算法问题——数组中的逆序对（Inversion Count in an Array）。逆序对是编程中的一种常见概念，它定义为数组中两个元素满足前一个元素大于后一个元素的情况。在给定的数组 `nums` 中，我们需要计算所有这样的逆序对的数量。这个问题通常用于评估一个数组的“逆序性”，在排序算法、数据结构分析以及算法竞赛中都很常见。 **题目描述**： 题目要求我们编写一个程序，接受一个整数数组作为输入，如 `[1, 2, 3, 4, 5, 6, 0]`，并返回该数组中逆序对的总数。例如，对于这个例子，有6个逆序对：`(1, 0)`, `(2, 0)`, `(2, 1)`, `(3, 0)`, `(3, 1)`, 和 `(3, 2)`。 **参考答案**： 提供的解决方案是使用了一个基于哈希表和前缀和的技巧。首先，创建一个大小为 `1000000` 的数组 `c` 和计数器 `cnt`，以及一个 `unordered_map` `ump` 来存储每个元素在原始数组中的位置。`st` 是一个 `set`，用于存储数组中的唯一元素，方便查找。 - `add(int x)` 函数是用于更新前缀和的，它将当前元素值累加到其二进制位上对应的 `c` 数组位置。 - `ask(int x)` 函数则用于查询以 `x` 结束的逆序对数量，通过遍历 `c` 数组中 `x` 位置及其以下的所有元素，累加它们的计数。 逆序对的计算过程如下： 1. 遍历数组 `nums`，将每个元素 `nums[i]` 插入到 `st` 中，并将其在 `ump` 中对应的位置更新为 `cnt`，然后递增 `cnt`。 2. 从数组末尾开始，对于每个元素 `nums[i]`，计算 `nums[i]` 对应的逆序对数量（即 `nums[i]` 在 `ump` 中的位置减1），这等于询问 `ump[nums[i]]-1` 的逆序对数。然后，将这个数量加入到结果 `ans` 中。 3. 由于每次询问都是从右向左处理，`add` 函数保证了前缀和的性质，使得在 `nums[i]` 处的逆序对数量等于 `nums[i]` 之前所有元素与 `nums[i]` 的逆序对数量之和。 总结起来，这个问题展示了如何巧妙地利用数据结构和前缀和技巧来解决数组中的逆序对计数问题，不仅时间复杂度为 O(n)，空间复杂度也相对较低。在实际编程中，这种技巧经常被用于优化查找、统计等问题。理解并掌握这个问题有助于提升算法设计和分析能力。