无向图数组表示法详解：特点与应用

"本文主要介绍了无向图的数组表示法及其特点，并涉及图的基本概念、存储结构、遍历、连通性问题、最小生成树、最短路径等核心概念。" 在图论中，图是一种重要的数据结构，由顶点集合（Vertex）以及顶点间的关系集合（Edge）构成。无向图是其中的一种类型，其特点在于边是无方向的，即任何两个顶点之间的连接都是双向的。无向图的数组表示法通常采用邻接矩阵，这是一个二维数组，用于存储图中每个顶点之间的连接关系。 1. **无向图的邻接矩阵**：对于无向图，邻接矩阵是对称的，因为每条边会在矩阵中表示两次，一次作为起点，一次作为终点。例如，如果顶点u和v之间有一条边，那么在邻接矩阵中，位置`(u, v)`和`(v, u)`都为1。 2. **顶点的度**：在无向图中，一个顶点的度等于与其相连的边的数量。对于邻接矩阵，可以统计相应行或列中1的个数来计算顶点的度。在有向图中，行表示出度（离开顶点的边数），列表示入度（指向顶点的边数）。 3. **判断邻接点**：如果想知道两个顶点是否相邻，只需检查邻接矩阵中对应的位置是否为1。 4. **增删边操作**：在图中添加或删除边，通过在邻接矩阵对应位置设置或清除1即可，操作简单且直观。 5. **存储空间**：邻接矩阵的存储空间需求为n（顶点数）+ n²，而这个空间需求只与顶点数有关，与边数无关。因此，这种表示法适用于边比较密集的图，即大部分顶点之间都有边相连。 除了无向图的数组表示，图还有其他存储结构，如邻接表，它更适合于边稀疏的图，节省存储空间。在图的处理中，常见的算法包括： - **图的遍历**：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历方法，用于访问图中所有顶点或查找特定路径。 - **图的连通性问题**：如判断图是否连通，找出连通分量，寻找最小生成树等。 - **最小生成树**：在加权图中，寻找一条包含所有顶点且总权重最小的边集，常见的算法有Prim算法和Kruskal算法。 - **最短路径**：寻找两个顶点间路径的最小权重，Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法是解决这类问题的经典方法。 - **活动网络**：涉及到时间约束的图，如网络计划技术，通常使用拓扑排序和关键路径分析。 图在各个领域都有广泛的应用，如交通网络、电路设计、通信线路规划、生产流程控制等。理解和掌握图的表示和算法对于解决实际问题至关重要。