主成分分析与谱方法详解：最大化方差与降维应用

第六讲主要探讨了主成分分析（PCA）及其相关谱方法在机器学习中的应用。PCA是一种常用的降维技术，其目标是通过找到一组新的坐标轴（称为主成分），将高维数据投影到低维空间，同时最大化数据的方差。这一过程对于数据预处理、特征提取以及可视化非常有用。 1. **主成分分析的基本原理**： - PCA基于观测数据的协方差矩阵\( S \)，寻找投影向量\( u \)来最大化投影后数据的方差。对于一维投影（\( M=1 \)），\( u \)是一个\( D \)维向量，数据点\( x_i \)投影后为\( z_i = u^T x_i \)，投影后的方差\( \text{Var}(z) = u^T S u \)。 2. **最大化方差与约束优化**： - PCA最初的问题是带约束的优化，即限制投影后的维数\( M \)。通过拉格朗日乘子法将其转化为无约束形式，目标函数变为\( \text{argmax}_{u} (u^T S u) - \lambda (M - u^Tu) \)，其中\( \lambda \)是拉格朗日乘子，确保投影向量的长度为1。 3. **多维投影与矩阵表示**： - 当\( M > 1 \)，投影变换矩阵\( U \)是一个\( D \times M \)的矩阵，各列对应不同的主成分，且列向量间应相互正交。此时优化目标是所有主成分方向上方差之和的最大化。 4. **扩展到概率PCA（PPCA）和核PCA（kernel PCA）**： - PPCA引入了概率模型，将PCA与概率统计结合，适用于非线性数据。而核PCA则利用核技巧（kernel trick）处理非线性数据，将数据映射到高维特征空间再进行PCA。 5. **相关谱方法**： - PCA是谱方法的一种，谱方法是通过研究矩阵的谱理论来解决优化问题。它包括线性判别分析（LDA）和典型相关分析（CCA），前者用于分类任务，后者用于找出两个或多个变量间的最相关方向。 6. **应用实例**： - 图11-1展示了PCA将数据投影到一维空间的实际效果，直观地展示了降维后数据分布的变化。 第六讲深入介绍了PCA的数学原理、优化策略，以及其在概率和非线性情况下的扩展，这些都是机器学习中重要的工具和理论基础，对于理解和实践各种机器学习算法有着关键作用。