滞时微分方程Hopf分歧研究：Liapunov-Schmidt约化方法

"一类滞时微分方程的Hopf分歧 (2006年)" 这篇论文关注的是滞时微分方程中的Hopf分歧现象，这是非线性动力系统理论中的一个重要研究领域。 Hopf分歧是指在参数空间中，系统从稳定平衡状态转变为周期解的临界情况。滞时微分方程是包含过去时间点变量的函数的微分方程，它们在生物、物理、化学和工程等多个领域有广泛应用。 文中提到的滞时微分方程形式为： \[ \frac{du}{dt} = -\alpha u(t-1) \left(1 + \frac{u^p(t-1)}{1+u^q(t-1)}\right) \] 其中，\( p \) 和 \( q \) 是正整数，\( \alpha \) 是一个实数参数。这个方程的线性化围绕平凡解（即 \( u(t) = 0 \)）可以简化为： \[ \frac{du}{dt} = -\alpha u(t-1) \] 进一步分析线性化方程的特征方程： \[ \lambda = -\alpha e^{-\lambda} \] 此特征方程揭示了系统动态的关键特性。当 \( \alpha \) 取特定值 \( \alpha_n = \pi/2 + 2n\pi \) 时，特征方程有一对纯虚根，这表明存在Hopf分歧的可能性。 通过应用Liapunov-Schmidt约化方法，研究人员能够在Hopf分歧点附近获得周期解的近似解析表达式。这种方法通过将高维微分方程转化为低维问题来简化分析，对于理解和预测非线性系统的动态行为非常有用。此外，他们结合分片Hermite插值多项式的配置法，进一步求解了Hopf分歧点附近的周期解分支，这有助于验证理论分析的准确性和数值模拟的一致性。 通过比较理论和数值结果，论文作者证实了使用Liapunov-Schmidt约化方法来求解滞时微分方程周期解的有效性和可行性。这项工作不仅深化了我们对滞时微分方程Hopf分歧的理解，也为未来解决类似问题提供了新的计算策略和技术。 关键词涉及到的领域包括滞时微分方程、Hopf分歧、Liapunov-Schmidt约化以及周期解。这篇论文是由上海师范大学数理信息学院的研究团队完成的，得到了多项基金的支持，其中包括国家自然科学基金和上海市教委科研基金等。 这篇2006年的论文为理解非线性动力系统中滞时微分方程的复杂动态提供了有价值的理论贡献，并展示了Liapunov-Schmidt约化方法在处理这类问题时的有效工具地位。