有限维向量空间的仿射几何

"《高级线性代数》第16章 - 平面几何" 在这一章中，我们将探讨有限维向量空间的几何性质，以及保持其结构的映射。全书中假设所有向量空间都是有限维的。 平面向量几何 在向量空间中的商空间的陪集在几何上有一个特殊的名称。定义如下：设 是一个向量空间 的子空间。陪集 \( b + V \)（其中 \( b \in V \)）称为在 中的“平面”或“仿射平面”，通常也称 \( b + V \) 为平面的一个基或平面对应元素。所有平面的集合构成了 \( V \) 的“仿射几何”。平面的维度定义为 \( V / W \) 的维数，记作 \( \dim_{\text{aff}}(V/W) \)。 平面的基 一个平面可能有多个平面对应元素，但只有一个基。如果 \( b_1 + W = b_2 + W \)，那么 \( b_1 - b_2 \in W \)，所以 \( b_1 \) 和 \( b_2 \) 在 \( W \) 上的差是零向量，意味着 \( b_1 \) 和 \( b_2 \) 是相同的基。 维度 一个维度为 \( n \) 的平面被称为 \( n \)-维平面。0-维平面是一个点，1-维平面是一条直线，2-维平面是一个平面，而 \( n \)-维平面则是一个超平面。平面的维度是描述其几何复杂性的关键属性。 平行性 两个平面 \( A \) 和 \( B \) 被称为平行，如果它们在 \( V \) 中没有公共点，即 \( A + b = B + b' \) 对于所有 \( b, b' \in V \) 都成立。记作 \( A \parallel B \)。平行性是仿射几何中的一个重要概念，它允许我们研究不考虑尺度和方向的几何关系。 本书的第16章将深入探讨这些概念，包括它们在解决几何问题和理解向量空间性质中的应用。通过学习仿射几何，我们可以更好地理解线性代数在几何学中的角色，以及如何用代数工具来描述和操作几何形状。