有限维向量空间的仿射几何
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更新于2024-07-31
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"《高级线性代数》第16章 - 平面几何"
在这一章中,我们将探讨有限维向量空间的几何性质,以及保持其结构的映射。全书中假设所有向量空间都是有限维的。
平面向量几何
在向量空间中的商空间的陪集在几何上有一个特殊的名称。定义如下:设 是一个向量空间 的子空间。陪集 \( b + V \)(其中 \( b \in V \))称为在 中的“平面”或“仿射平面”,通常也称 \( b + V \) 为平面的一个基或平面对应元素。所有平面的集合构成了 \( V \) 的“仿射几何”。平面的维度定义为 \( V / W \) 的维数,记作 \( \dim_{\text{aff}}(V/W) \)。
平面的基
一个平面可能有多个平面对应元素,但只有一个基。如果 \( b_1 + W = b_2 + W \),那么 \( b_1 - b_2 \in W \),所以 \( b_1 \) 和 \( b_2 \) 在 \( W \) 上的差是零向量,意味着 \( b_1 \) 和 \( b_2 \) 是相同的基。
维度
一个维度为 \( n \) 的平面被称为 \( n \)-维平面。0-维平面是一个点,1-维平面是一条直线,2-维平面是一个平面,而 \( n \)-维平面则是一个超平面。平面的维度是描述其几何复杂性的关键属性。
平行性
两个平面 \( A \) 和 \( B \) 被称为平行,如果它们在 \( V \) 中没有公共点,即 \( A + b = B + b' \) 对于所有 \( b, b' \in V \) 都成立。记作 \( A \parallel B \)。平行性是仿射几何中的一个重要概念,它允许我们研究不考虑尺度和方向的几何关系。
本书的第16章将深入探讨这些概念,包括它们在解决几何问题和理解向量空间性质中的应用。通过学习仿射几何,我们可以更好地理解线性代数在几何学中的角色,以及如何用代数工具来描述和操作几何形状。
2019-02-23 上传
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