高维代数流形上多项式空间维数与Lagrange插值适定节点构造

本文主要探讨了高维空间中代数流形上的多项式空间及其与Lagrange插值的相关理论。首先，作者引入了"充分相交"的概念，即在n维空间中，当s（1≤s≤n）个代数超曲面相互充分相交时，这些超曲面构成的代数流形S=s(f1, ..., fs)，其中每个超曲面的方程f1(X)=0, ..., fs(X)=0。这个概念对于理解多项式空间在这些特定流形上的结构至关重要。 作者证明了对于n元m次多项式空间P(n)m，其在充分相交的代数流形S上的维数可以通过倒差分算子给出一个便于计算的表达式。倒差分算子在此处起到了关键作用，它是一种数学工具，可以帮助我们确定在特定流形上的自由度和独立参数数量。 接着，文章提出了沿代数流形上构建插值适定结点组的叠加插值法。插值适定结点组是指一组特殊的点集，使得在这些点上定义的插值函数能唯一地对应于流形上的多项式。这种方法允许我们在给定流形的特定区域上有效地寻找满足特定条件的插值点。 作者进一步证明了在充分相交的代数流形上存在任意次插值适定结点组，这意味着无论多项式的阶数如何，总能找到这样的结点组，使得插值问题可以解决。这为实际应用中的多项式逼近提供了理论支持。 最后，文章详细讨论了代数流形上插值适定结点组的性质和判定条件，这些条件可能包括结点的位置、互异性以及它们与流形的关系等。这些性质有助于判断一组结点是否适合进行Lagrange插值，或者是否能保证插值的唯一性和稳定性。 这篇文章深入研究了高维代数流形上多项式空间的维数问题以及与之相关的Lagrange插值适定结点组构造，为理解和处理复杂多变量函数的逼近提供了重要的数学工具和技术。这对于数值分析、计算机图形学、信号处理等领域具有实际意义。