推广McMullen集的自仿射集合Hausdorff维数计算

本文主要探讨了平面上广义McMullen集的Hausdorff维数和Box维数，这是一种自仿射集的特例研究。McMullen集是由McMullen在1984年提出的，它是一种特殊的自相似集合，类似于自仿射版本的Sierpinski地毯，其构造基于一个非退化的整数矩阵M，其逆矩阵的范数小于1，以及一个包含原点的有限整数点集R。通过这种表示系统，每个平面点可以被表示为M乘以向量的线性组合。 Hausdorff维数是衡量分形集合尺度不规则性的关键指标，对于满足开集条件的自相似集，计算方法相对明确。然而，自仿射集的Hausdorff维数通常更为复杂，因为它们的结构涉及更广泛的变换。McMullen的贡献在于他给出了这类自仿射集，特别是McMullen集的Hausdorff维数和Box维数的精确计算公式，这是对这一领域的重要进展。 Box维数是对Hausdorff维数的一种替代度量，它考虑了集合在不同尺度上的填充特性。通过细致的数学分析，作者朱莉红、陈绍明和龙伦海针对广义McMullen集，不仅给出了Hausdorff维数的计算方法，还扩展到了Box维数的计算，这对于理解和分析此类自仿射集的性质具有重要意义。 文章的核心内容包括预备知识，如自仿射集的定义和表示系统的构建，以及Hausdorff维数和Box维数的基本概念。接着，详细介绍了McMullen集的构造过程，以及如何通过矩阵操作将平面点映射到该集合。最后，作者展示了他们如何运用这些理论工具来求解具体的维数计算问题，为读者提供了一种计算自仿射集维度的实用方法。 这篇论文不仅深化了我们对自仿射集维度的理解，而且也为其他分形几何的研究者提供了宝贵的理论工具和计算实例，对于进一步探索分形集的性质和应用具有实际价值。