自仿射集的维数计算与应用——基于McMullen集的变形

"一类变形的McMullen集的维数及其应用 (2010年) - 自然科学论文" 本文探讨了平面上一类特殊的变形McMullen集的几何特性，特别是其Hausdorff维数和Box维数的计算。McMullen集是由整数α和β定义的一类自仿射集，其中条件是|α| ≥ |β| > 1 或者 |β| ≥ 1。具体地，集合R包含那些由整数对(xk, yk)构成的点，其中这些整数对属于特定的有限整数点集R(i, j)，i 和 j 属于给定的范围。 作者杨玉莲和龙伦海通过深入研究，得出了这类自仿射集的Hausdorff维数和Box维数的精确计算公式。Hausdorff维数是衡量几何对象复杂性的测度，它不依赖于对象的覆盖方式，而Box维数则考虑了对象在不同尺度下的覆盖。对于自相似集，Hausdorff维数相对容易确定，但对于自仿射集，计算通常更为复杂。 文章还展示了这些理论成果的应用，给出了另一类自仿射集R的维数计算，其中整数α和β满足|α - β| ≥ |α + β| > 1 或者 |α + β| ≥ |α - β| > 1，且点集R位于特定的矩形区域内。这个扩展的应用表明了所提出方法的普适性和实用性。 分形几何领域中，计算Hausdorff维数是一项重要任务，尤其是在自仿射集的情况下，由于其结构的复杂性，计算通常较为困难。McMullen在1984年的研究提供了一个突破，他研究了最简单的自仿射集，即McMullen集或自仿射Sierpinski地毯，并给出了其维数的计算方法。本文的工作进一步拓展了这一领域的研究，揭示了在某些变形情况下的自仿射集的维数特性。 预备知识部分提到了非退化整数元二阶方阵以及其逆矩阵的范数条件，这是分析自仿射集性质的基础。当方阵的逆矩阵范数小于1时，可以确保该自仿射映射是收缩的，从而保证了相关维数理论的有效性。 这篇论文为理解和计算自仿射集的维数提供了新的工具和洞察，对于分形几何和数学分析的研究具有重要意义，特别是在处理复杂几何结构的维数问题时。