Jacobi矩阵完成：指定最小最大特征值的算法

"这篇文章是关于如何完成具有特定最小和最大特征值的雅可比矩阵的数学研究，由陈兴彤发表在中国矿业大学科学学院。该研究利用雅可比矩阵的主子阵特征多项式的递推关系，解决了一个矩阵完成问题，并证明了在一定条件下存在唯一解的理论。此外，它还解决了具有2n-1个极端特征值的雅可比矩阵的逆特征值问题，并提出了相应的算法。实验表明这些算法是有效的。" 雅可比矩阵是一种对称的二阶差分矩阵，在数学和物理中有着广泛的应用，特别是在数值线性代数、概率论以及量子力学等领域。文章的核心在于解决一个特殊的矩阵问题：如何根据预设的最小和最大特征值来构造完整的雅可比矩阵。特征值是矩阵性质的重要体现，它们反映了矩阵在某种变换下的伸缩因子。 作者首先通过分析雅可比矩阵的各阶主子阵的特征多项式之间的递推关系，建立了一套方法来解决矩阵的完成问题。递推关系在数学中是一种强大的工具，能够帮助从已知项推导出未知项，此处则用于确定矩阵中的未定义元素。作者证明了当且仅当满足特定条件时，这种矩阵完成问题有唯一的解，这为实际应用提供了理论基础。 接着，文章讨论了具有2n-1个极端特征值（即最小和最大特征值）的雅可比矩阵的逆特征值问题。在矩阵理论中，逆特征值问题涉及到找出使得特定函数值等于零的矩阵元素，这在求解某些偏微分方程或控制系统设计中非常重要。作者基于前面的成果解决了这个问题，给出了被插入元素的递推表达式。 最后，文章提出了两个解决此类问题的算法。这些算法是实际计算中的实用工具，能够根据给定的特征值信息有效地构建或修改雅可比矩阵。数值实验验证了算法的准确性和效率，进一步巩固了理论成果的实际意义。 这篇2013年的研究工作为处理具有特定特征值的雅可比矩阵提供了一种系统的方法，对于理解和操作这类矩阵的特性具有重要的理论和实践价值。其贡献在于不仅揭示了矩阵完成的理论条件，还给出了实用的算法，这对于数学建模、数值分析以及其他相关领域的研究工作都是宝贵的资源。