网络流算法详解：k的上界与最短增广路径

"这篇资源主要介绍了网络流算法及其在寻找最大流问题中的应用。通过分析网络流的性质，包括容量限制、反对称性和流量平衡，文章深入探讨了如何构建残量网络来寻找增广路径，进而提升网络的流量。文中还提供了一个具体的算法实现，用于寻找最大流并给出了算法效率的上界。" 网络流算法是一种解决网络中最大流量问题的数学方法，广泛应用于图论和计算机科学中。在这个问题中，我们有一个带权重的有向图，源点s和汇点t，以及每条边的容量限制。网络流的目标是找到最大的流量从源点s流向汇点t，同时满足容量限制、反对称性和流量平衡这三个基本性质。 1. **容量限制**：每条边(u, v)的流量f(u, v)不能超过其容量c(u, v)，即f(u, v) ≤ c(u, v)。这意味着边的流量不能超过其允许的最大传输量。 2. **反对称性**：流量f(u, v)和f(v, u)之间的关系是相反的，即f(v, u) = -f(u, v)。这表示如果从u到v有流量，那么从v到u就有等量的反向流量。 3. **流量平衡**：对于非源点和非汇点的任何节点v，流入v的流量之和等于流出v的流量之和。这确保了在整个网络中，流量是守恒的。 **最大流问题**是要找出在满足这些条件下的最大可能流量。为了实现这个目标，引入了**残量网络**的概念。残量网络r(u, v) = c(u, v) – f(u, v)表示边(u, v)还能传递多少额外的流量。在残量网络中，寻找增广路径——即从源点到汇点的一条路径，沿途每条边都有剩余容量——是提高总流量的关键。 给出的代码实现了一个基于最短增广路径的算法。该算法通过Find函数寻找残量网络中的最短增广路径，并通过Work函数更新流量。在每次迭代中，算法找到一条增广路径并最大化通过该路径的流量，直到无法找到更多的增广路径为止。算法的效率上界为O(f * m)，其中f是最大流的大小，m是图中的边数，但实际效率通常比这个上界低，因为最短路径的选取策略使得算法在较短时间内找到增广路径。 这个特定的算法实现中，使用了邻接矩阵g来存储原始图的信息，u矩阵记录残量网络的容量，d、p和x数组用于Dijkstra算法的最短路径查找。通过Work函数不断迭代，直至找不到增广路径为止，最后输出找到的最大流总量total。 总结来说，网络流算法通过残量网络和增广路径的概念，为解决最大流问题提供了一种有效的方法。通过分析和实现，我们可以理解如何在有限的网络资源下，找到从源点到汇点的最大流量。