数值分析作业：幂法与反幂法求解特征值

"这篇资源是关于数值分析课程的一个大作业，主要探讨了使用幂法和反幂法来求解矩阵的最大最小特征值。作业中详细介绍了算法设计思路，并提供了完整的C++源代码实现。" 在数值分析中，幂法和反幂法是两种常用的方法，用于寻找矩阵的特征值。幂法主要用于求解矩阵模最大的特征值，而反幂法则适用于求解模最小的特征值。这两种方法在处理大型稀疏矩阵时特别有效，因为它们可以在不进行完整特征值分解的情况下逐步逼近目标特征值。 1. 幂法（Power Method）： 幂法的基本思想是通过不断将矩阵乘以其初始向量，使向量逐渐接近对应于最大模特征值的特征向量。在每一步迭代中，都会对向量进行归一化，以保持其长度。随着迭代次数增加，向量会越来越接近最大特征值的特征向量，同时特征值可以通过观察向量在迭代过程中的增长速率来估算。 2. 反幂法（Inverse Power Method）： 反幂法与幂法类似，但使用矩阵的逆来迭代。当矩阵的特征值有较小的模时，这种方法尤其有用。在本作业中，首先通过LU分解得到矩阵的压缩表示，然后利用反幂法迭代求解模最小的特征值。如果矩阵存在相等的模最小的特征值，反幂法可以找到这些特征值，但如果这些特征值互为相反数，它只能求得模，无法确定特征向量。 3. 算法流程： - 压缩矩阵并进行LU分解。 - 使用反幂法求解模最小的特征值λs。 - 使用幂法求解模最大的特征值λm。 - 计算矩阵B=A+|λm|I，然后求解B的模最大和模最小的特征值，分别对应λ501和λ1。 - 根据线性插值公式计算中间特征值μk，并构建矩阵Bk=A-μkI。 - 最后，计算矩阵A的条件数cond(A)2（等于最大特征值与最小特征值的比值）和行列式det(A)。 4. C++源代码： 提供的源代码实现了上述算法，包括矩阵的生成、LU分解、特征值计算等步骤。在实际编程中，通常需要考虑矩阵的存储效率（如使用压缩存储），以及迭代过程中的精度控制和收敛性判断。 这个大作业不仅展示了如何应用幂法和反幂法解决实际问题，还涉及到了矩阵的压缩存储、LU分解和特征值计算等多个数值分析的关键概念。通过这样的实践，学生可以深入理解这些算法的原理和实现细节。