东南大学数值分析上机题详解：样条插值、重积分与常微分方程数值解

在数值分析的上机题目中，学生被要求解决三个关键的实践任务，涉及到MATLAB编程和理论知识的运用。首先是第四章的3次样条插值函数，这是插值理论的一个重要应用，要求编写通用程序来实现第一型3次样条插值。在这个过程中，学生需要根据给定的车门曲线型值点数据，应用样条插值公式，特别是利用一阶和二阶差商来求解插值参数。尽管样条插值提高了精度，但在非节点处可能存在误差，强调了编程时的精确性和细心检查的重要性。 接下来的上机题是第五章的重积分计算，利用复化梯形公式进行数值积分。学生需设计一个通用程序，采用逐次二分步长的方法，直至达到预定的精度标准。这个任务涉及函数的递归调用和外推思想，通过子函数如getT.m和myfun.m来处理不同积分形式。尽管程序具有一定的模块化，但运行效率不高，反映出对MATLAB高级技巧和性能优化的不足。 最后，第六章的题目是常微分方程初值问题的数值解，要求实现RK4方法（Runge-Kutta 4阶方法）的通用程序。这是一类用于数值求解偏微分方程的基础方法，需要理解并运用四阶龙格-库塔算法来逼近解的步骤。在实践中，这类题目通常涉及时间步长的选择、误差控制和稳定性分析。 这些上机题目不仅考察了学生的编程技能，也检验了他们对数值分析理论的理解和应用能力，特别是误差分析、算法选择和程序优化等方面。在完成这些任务时，学生们需要不断反思和学习，提升自己的编程实践水平和理论深度，以便在未来的工作或学术研究中更有效地运用数值分析技术。