美国人口统计：多项式拟合与残差分析

"多项式拟合在MATLAB中的应用" 在MATLAB中，多项式拟合是一种常见的数据分析方法，用于建立数据之间的数学模型，以描述数据的趋势和结构。这个过程通常涉及寻找一个多项式函数，该函数能够最佳地逼近给定的数据点。在给定的资源中，我们看到一个具体的例子，它使用了美国人口数据（census.mat文件）来演示如何进行多项式拟合。 首先，我们需要加载数据并进行预处理。在这个案例中，`load census.mat`命令用于导入数据，`cdate`表示年份，`pop`表示相应年份的人口数量。为了分析数据的相关性，使用`plot`函数绘制散点图，通过观察数据点的分布情况，初步判断年份与人口数量之间是否存在较强的相关性。同时，使用`corrcoef`函数计算两个变量之间的相关系数矩阵，进一步验证这种相关性。 在进行多项式拟合前，数据通常需要进行标准化，以消除量纲影响和提高拟合效果。这里，通过`(cdate - mean(cdate)) / std(cdate)`对年份数据进行标准化，使得数据均值为0，标准差为1。 接下来，使用`polyfit`函数进行多项式拟合。`polyfit(sdate, pop, i)`中的`i`代表拟合的次数，即多项式的阶数。代码中，`for`循环遍历从1到4的不同阶数，绘制拟合曲线（'+-'）和原始数据点（'om'），以便比较不同阶数的拟合效果。同时，绘制残差图，`res = pop - fit_y`，通过残差的分布来评估拟合的质量。 在残差图上，如果残差呈现出随机分布且没有明显的模式，那么拟合通常被认为是较好的。通过比较不同阶数的残差图，可以选择最合适的模型。在这个例子中，阶数为3的多项式模型被选中，其残差和拟合优度被计算出来。`polyfit(sdate, pop, 3)`得到3次多项式拟合的系数，`polyval`用于计算拟合值。`yresid`是实际值与拟合值的差，`SSresid`是残差平方和，`SStotal`是总平方和，`rsq`是决定系数（R²），它衡量了模型解释数据变异性的比例，值越接近1，拟合度越好。 总结来说，这段代码展示了如何在MATLAB中进行多项式拟合，包括数据预处理、相关性分析、模型选择和拟合质量评估。通过这种方式，我们可以理解数据的内在规律，并建立有效的预测模型。在实际应用中，可以根据具体问题和数据特性选择合适的拟合次数，以达到最优的拟合效果。