动态规划经典：背包问题九讲2.0详解

《背包问题九讲2.0》是一篇深入解析背包问题的经典文章，由崔添翼（TianyiCui）创作，属于《动态规划的思考艺术》系列。该系列最初在2007年以HTML格式发布，经过作者在2011年的重新制作和全面修订，更新至2.0alpha1版本，可在<https://github.com/tianyicui/pack>获取最新资料。 文章分为九个部分，涵盖了不同的背包问题类型： 1. **01背包问题**：基础讲解了这个问题的定义和基本思路，介绍了如何通过动态规划优化空间复杂度，并讨论了初始化细节和常数优化技巧。 2. **完全背包问题**：介绍了完全背包问题的题目，探讨了基本算法和一个有效的优化策略，还提及了将此问题转化为01背包问题求解的方法以及O(VN)的算法。 3. **多重背包问题**：阐述了多重背包问题的背景，提供了基本算法，说明了如何将其转化为01背包问题，并给出了O(VN)算法。 4. **混合三种背包问题**：探讨了01背包、完全背包和多重背包问题的混合情况，以及解决这类问题的策略。 5. **二维费用的背包问题**：针对物品具有二维费用的情况，讨论了问题定义、算法设计和特殊约束的处理。 6. **分组的背包问题**：分析了物品需分组放入背包的问题，介绍了相应的算法和小结。 7. **有依赖的背包问题**：区分了简化和一般问题，给出了相应的算法处理方法。 8. **泛化物品**：定义了泛化物品的概念，讨论了它们的和计算以及在背包问题中的应用。 9. **背包问题问法变化**：涉及输出方案、字典序最小的最优方案、方案总数、最优方案总数以及求次优解和第K优解等多种问题的解决方案。 这篇文章不仅适合动态规划的初学者，也是对各类背包问题有深入了解的读者的重要参考资料。通过学习这些内容，读者可以掌握解决实际问题中遇到的不同背包问题的核心技巧。