随机信号分析：从概率密度到功率谱密度

"该资源是关于《现代信号分析与处理》的期末总结，重点涵盖了随机信号的基础知识，包括概率密度函数、基本特征、随机变量的相关性质、互相关、自相关矩阵、功率谱密度以及随机信号通过线性系统时的行为。" 在现代信号分析与处理中，随机信号扮演着至关重要的角色。随机信号基础主要包括以下几个方面： 1. **概率密度函数(PDF)**：概率密度函数描述了随机变量分布的概率特性，通过PDF可以计算出变量取特定值的概率。数学表示为𝑃(𝑥,𝑛)= 𝑑𝑝(𝑥,𝑛)/𝑑𝑥，其中Fn(x)是累积分布函数，由PDF积分得到。 2. **基本特征**：随机信号的一阶和二阶特征用于描述信号的平均行为和波动程度。 - **一阶特征**：均值(μ(n))是信号期望值，表示为𝐸[𝑥(𝑛)]=∫𝑥𝑝(𝑥,𝑛)𝑑𝑥，它是信号所有可能取值的加权平均。 - **二阶特征**：均方值和方差分别衡量信号的平方平均值和波动程度。均方值𝐸[𝑥2(𝑛)]=∫𝑥2𝑝(𝑥,𝑛)𝑑𝑥，方差则为方差σ^2_x(n)=𝐸{[𝑥(𝑛)−𝜇(𝑛)]^2}。 3. **互相关**：互相关函数𝑟_xy(n1,n2)描述了两个随机变量x(n1)和y(n2)的相关性。零延迟的互相关表示为𝑟_xy(0)，而滞后k的互相关为𝑟_xy(k)。 4. **不相关与正交**：如果两个随机变量的互相关函数等于它们各自均值的乘积，即𝐸[𝑥(𝑛)𝑦∗(𝑚)]=𝐸[𝑥(𝑛)]𝐸[𝑦∗(𝑚)]，则它们不相关。若在零均值条件下，不相关意味着正交，即𝐸[𝑥(𝑛)𝑦∗(𝑚)]=0。 5. **自相关矩阵**：对于多维随机向量，自相关矩阵R包含了所有可能的自相关和互相关项，例如rij = 𝑟(𝑖,𝑗)代表变量xi和xj的互相关。 6. **功率谱密度**：利用维纳-辛钦定理，可以通过自相关函数求得复功率谱𝑆̂(𝑧)和实值功率谱密度s(w)，它描述了信号在频域内的能量分布。反变换可得到自相关函数。 7. **随机信号通过线性时不变系统(LTI)**：当随机信号通过线性时不变系统时，其输出信号的自相关函数和互相关函数可以通过卷积运算得到。单位抽样响应h(n)是系统对单位脉冲输入的响应，系统输出y(n)由输入X(n)与h(n)的卷积得到。 这些概念是理解并分析复杂随机信号的基础，对通信、图像处理、声音识别等领域有着广泛的应用。通过深入理解这些原理，可以更好地进行信号的建模、预测和处理。