广义括号匹配与动态规划解法

"这篇资源主要讨论了广义的括号匹配问题在 ACM（算法竞赛）中的应用，并结合动态规划和状态压缩技术来解决这类问题。文章由长沙市雅礼中学的陈丹琦撰写，探讨了如何处理具有连通性的动态规划问题，特别是涉及到棋盘模型的哈密顿回路计数问题。" 在广义的括号匹配问题中，常规的括号匹配要求每个连通块内恰好有2个插头，即一个左括号和一个右括号。然而，该问题拓展了这一概念，允许连通块中有超过2个插头的情况。对于这种情况，最左边的插头标记为"("，最右边的插头标记为")"，而中间的插头则标记为"()"(即两个括号相邻)。如果连通块只有一个插头，则标记为"( )"。 动态规划是解决这类问题的一种有效方法，特别是在处理具有指数级状态总数的问题时。状态压缩是一种优化技术，它通过紧凑地表示状态来减少存储和计算的需求。在基于连通性的动态规划问题中，我们需要记录多个元素之间的连通情况。例如，在 Formula1(Ural1519) 这个问题中，我们有一个 m*n 的棋盘，其中有些格子是障碍，目标是找到经过所有非障碍格子的哈密顿回路数量。由于数据规模较小（m, n ≤ 12），动态规划和状态压缩是可行的解决方案。 棋盘模型可以分为不同的阶段，从上到下，从左到右逐格推进。插头是描述棋盘格子连接性的关键概念，指格子在某一方向与相邻格子相连。轮廓线是已决策格子和未决策格子的边界，其上方有n+1个插头，包括n个下插头和1个右插头。为了表示这些插头的连通性，我们可以使用最小表示法，用0表示无插头，正整数表示插头，并确保连通的插头标记相同。 状态f(i, j, S)表示在移动到(i, j)位置时，轮廓线上从左到右的n+1个插头存在的状态为S的方案数。S可以通过扫描上一状态并计算新的最小表示状态来更新。在这种情况下，对于m=n=12且无障碍的棋盘，状态总数被压缩到了1333113，使得问题变得可解。 进一步分析问题，每个非障碍格子恰好有两个插头，这意味着轮廓线上的路径可以看作是匹配的括号序列。因此，我们可以将连通的路径抽象为括号匹配的序列，避免出现交叉匹配的情况。这种括号表示法简化了问题，使得解决方案更加直观和高效。 总结来说，这篇资源深入探讨了广义括号匹配问题的动态规划解法，特别强调了状态压缩在处理连通性问题中的应用，并通过棋盘模型和括号序列的概念提供了具体的实例分析。这种问题解决策略对于ACM竞赛和算法设计具有很高的参考价值。