理解阶乘：探索N!的末尾零与二进制表示

"这篇文章主要探讨了与阶乘相关的两个经典问题，一个是求解整数N的阶乘N!末尾有多少个零，另一个是找出N!的二进制表示中最低位1的位置。通过分析，文章指出无需完整计算阶乘值，而是关注因数2和5的数量关系来解决第一个问题，而对于第二个问题，则需要转换思路，寻找二进制表示中的最长连续0序列。" 阶乘是一个在数学和计算机科学中常见的函数，通常用"!"表示。在给定的描述中，提到了两个关于阶乘的问题，这两个问题都是在面试或算法竞赛中常遇到的挑战。 **问题1：N!末尾零的个数** 当计算N!时，末尾零的个数取决于2和5的因子数量。由于任何10的倍数都会在N!的末尾添加一个零，我们需要找到所有可以被5整除的数字。这里的关键在于，2的因子比5的因子多，因此我们只需要关注5的因子。可以通过累加所有能被5的幂次整除的数字的指数来计算Z，即5的因子的总数。有两种方法实现这个计算： - **解法一**：直接计算每个数i（从1到N）中5的因子个数，累加得到Z。 - **解法二**：使用公式`Z=[N/5]+[N/5^2]+[N/5^3]+…`，其中`[N/5^k]`表示不大于N的数中5的k次幂倍数的个数。这个公式会在某个点停止，因为5的幂将超过N。 **问题2：N!二进制表示中最低位1的位置** 这个问题实际上是在寻找N!的二进制表示中最高位的连续0序列。给定N，我们需要找出N!转换成二进制后，从右向左的第一个1所在的位置。解决这个问题的关键在于理解，二进制表示中的一个连续0序列对应于2的连续幂因子。因此，我们需要找到最大的m，使得2^m小于N!的最小质因数大于2的数。 对于给定的N，我们可以通过不断地除以2并记录除法操作的次数来找到这个位置。每次除以2，相当于向左移动一位，直到无法再除以2为止，最后的位置即为所求。 总结来说，这两个问题展示了如何通过巧妙地理解和利用阶乘的性质来避免复杂的计算，以及如何通过转换问题来简化求解过程。在实际编程和算法设计中，这种思维方式对于解决问题至关重要。