无约束优化入门：梯度下降、牛顿法与Adam算法解析

"零基础入门无约束优化理论" 无约束优化理论是解决数学和工程问题中的一个关键领域，尤其是在机器学习和数据分析中。它涉及到寻找函数的极值，通常是全局最小值，而没有特定的限制条件。以下是关于无约束优化的一些核心概念： 1. 梯度下降：梯度下降是一种迭代优化算法，用于找到函数的局部最小值。它基于梯度（函数在某一点的偏导数组成的向量）的概念，因为梯度指明了函数增长最快的方向。在每一步迭代中，梯度下降会沿着梯度的反方向移动，以期望减少函数值。 - 方向导数是函数在某一方向上的局部变化率，它是偏导数的线性组合。 - 梯度是所有偏导数组成的向量，表示函数在所有方向上变化率的最大方向。 - 梯度与等高线的关系表明，梯度与等高线（函数值相等的点集）的切线垂直。因此，沿着梯度方向移动将导致函数值快速变化。 - 梯度下降法的步骤包括初始化、计算梯度、更新参数，直到达到预设的停止条件或收敛。 2. 牛顿法：牛顿法是一种更复杂的优化算法，它利用函数的二阶信息——Hessian矩阵（函数的二阶偏导数组成的矩阵）。牛顿法寻找函数的零点，通过构造函数的切线来逼近极值点。迭代公式基于函数的泰勒展开式，可以快速收敛但对计算资源要求较高。 - 零点求解是牛顿法的基础，通过迭代求解函数的根，通常用于找寻函数的局部极值。 - 牛顿迭代法涉及计算函数的切线，并用其预测下一个迭代点。 3. Adam：Adam是一种常用的适应性学习率优化算法，结合了梯度下降和动量方法的优点。它能够根据每个参数的历史梯度信息动态调整学习率，从而在不同参数上实现更有效的优化。 - 公式1计算历史梯度的一阶指数平滑值（Momentum）。 - 公式2计算历史梯度平方的一阶指数平滑值，用来估计梯度的方差。 - 公式3结合了这两个信息来更新参数，使得在梯度大的方向上学习率大，而在梯度小的方向上学习率小。 无约束优化理论不仅包括上述的基础概念，还包括其他算法如拟牛顿法、共轭梯度法等。理解这些概念并熟练应用它们是优化模型和解决实际问题的关键。对于初学者来说，从梯度下降开始，逐渐深入到更高级的优化方法，是学习无约束优化的良好路径。