分形几何：广义自相似测度的Fourier变换性质探索

"这篇文章是关于广义自相似测度的Fourier变换的性质的研究，主要涉及分形几何领域。作者探讨了一族压缩相似映射在R^d空间中的行为，以及由此产生的测度的特性，特别是与Lebesgue测度的关系和其Fourier变换的渐近性质。" 在分形几何中，自相似测度是一种重要的概念，它描述了由自相似迭代系统生成的集合的结构。在给定的论文中，作者王会敏考虑了一族压缩相似映射S_j(x) = ρ_jR_jx + b_j，其中0<ρ_j<1表示压缩比例，R_j是d×d维的正交矩阵，b_j是平移向量。这样的映射族可以构建出复杂的分形结构。K是这些映射的不变集，即对于所有j，S_j(K) = K。 Fan Ai-hua等人先前的工作表明，存在一个唯一的支持在K上的正则Borel概率测度μ，满足测度的自相似性关系λμ = ∑_{j=1}^{m} p_j(x) μ ∘ S_j^(-1)，其中λ是常数，p_j(x)是连续正函数，并且集合{log p_j(x)}满足Dini条件。Dini条件是连续函数序列收敛的一个强条件，它保证了函数的积分性质。 王会敏在此基础上进一步分析了测度μ与Lebesgue测度的关系，证明了μ要么相对于Lebesgue测度是奇异的，要么是绝对连续的。这涉及到测度论中的基本概念，奇异测度与Lebesgue测度不互为绝对连续，而绝对连续测度则与Lebesgue测度有密切关系。 此外，论文还探讨了μ的Fourier变换的渐近性质。Fourier变换在信号处理、概率论和分析等领域具有广泛应用，对于理解测度的频域特性至关重要。作者可能研究了当频率趋于无穷大时，μ的Fourier变换的行为，这可能涉及到谱理论和解析函数理论的一些深奥概念。 这篇论文深入研究了分形几何中的自相似测度的性质，特别是与Lebesgue测度的关系及其在傅里叶分析中的表现，为理解和描述复杂分形结构提供了新的洞察。