Bernoulli卷积测度的Fourier变换零点分析

"本文主要探讨了分形测度中一类特殊自仿测度——Bernoulli卷积测度的Fourier变换的零点集结构，这是研究分形测度是否为谱测度的关键问题。作者介绍了相关的预备知识，包括迭代函数系统、Bernoulli迭代函数系、自仿测度、正交函数集以及谱测度的概念，并阐述了Fourier变换在分形测度性质分析中的应用。" 文章深入研究了自仿测度，特别是Bernoulli卷积测度的性质。这类测度是由特定的迭代函数系生成的，其中τ+和τ-分别为λ倍的x加1和减1的映射。IFS的吸引子T及其对应的自仿测度μA具有独特性，μA满足迭代函数的平衡条件，并且其支撑在吸引子T上。 Fourier变换在分形测度的理论中扮演着核心角色，因为它可以帮助我们理解测度的谱特性。当测度的Fourier变换的零点集有特定结构时，可以推断测度是否为谱测度。谱测度是指其L2空间存在一组正交基，这组基由与IFS相关的指数函数构成。如果一个测度μ的Fourier变换的零点集满足某些条件，那么μ可能是一个谱测度，此时，IFS和μ构成一个谐对。 在论文中，作者还引入了正交函数集的概念，这在分析Fourier变换的性质时至关重要。如果Er集合中的函数在L2(μ)空间中正交，那么这个集合能够形成一个标准正交基，这意味着它可以帮助我们构建测度的谱分解。 通过对Bernoulli卷积测度的Fourier变换零点集的分析，研究者可以揭示测度的谱性质，进而深入了解分形测度的内在结构和行为。这种分析对于理解和解决调和分析中的谱问题至关重要，尤其是在处理非平凡的分形结构时。 总结起来，这篇论文聚焦于一个具体的数学问题，即通过深入研究Bernoulli卷积测度的Fourier变换零点集，探索其是否属于谱测度的范畴，从而为分形测度的理论研究提供了新的见解和工具。这样的研究不仅深化了我们对分形几何的理解，也为后续的理论发展和应用研究奠定了基础。