马尔可夫信源熵计算与二阶马尔可夫链稳态概率分析

在阿里巴巴的Android面试题集中，一道题目涉及到信源熵的计算。信源熵是信息论中的一个重要概念，用于度量随机变量不确定性的大小，即平均而言，每个符号发出的信息量。题目要求求解的是一个具有特定转移概率的马尔可夫信源的熵。 首先，马尔可夫信源是一种假设信源的状态只与前一个状态有关，而与更远的历史无关的模型。在这个例子中，信源有三个符号1, 2, 3，转移概率矩阵给出了一系列从一个状态转移到另一个状态的概率。为了求解熵，我们需要找到稳定状态下的符号概率分布，这通常通过遍历转移矩阵并应用概率守恒来实现。 对于给定的转移概率，如： - P(1|1)=1/2 - P(2|1)=1/2 - P(3|1)=0 - P(1|2)=1/3 - P(3|2)=2/3 - P(1|3)=1/3 - 等等 我们首先计算从每个状态转移到各个状态的概率，然后根据这些概率计算稳定状态下每个状态的概率。例如，状态0,1,2的稳定概率分别为W1, W2, W3，通过平衡条件建立方程组求解。 计算过程包括将转移概率矩阵与自身相乘，直到所有状态概率收敛到稳定值。这一步骤的结果是符号在稳定状态下的概率分布，例如W1=10/25, W2=25/25, W3=9/25。熵H(X)可以通过以下公式计算： H(X) = - ∑(W_i * log2(W_i)) 其中，W_i是符号i的稳定概率，log2是对数以2为底。在这里，由于概率已经确定，我们可以直接计算熵值，比如H(X) = -(10/25 * log2(10/25) + 25/25 * log2(25/25) + 9/25 * log2(9/25))。 接着，题目还提到了一个近似处理，当信源被认为无记忆时，即符号的概率分布符合平稳分布，此时可以使用最大熵原理来估计无记忆信源的熵H∞。在无记忆条件下，信源的熵达到最大，但实际计算的熵H(X)与H∞可能存在差异，反映了有记忆信源的结构信息。 在给定的例子中，如果进行无记忆信源的熵计算，我们需要知道每个符号出现的概率，而不是它们之间的依赖关系。这个过程通常简化为独立符号的概率乘积，计算出单个符号的熵，然后求和得到H(X)，它会小于H∞，因为有记忆信源的信息量大于无记忆信源。 总结来说，本题目要求考生掌握马尔可夫信源的概念、状态概率的计算以及信源熵的计算方法，同时理解无记忆信源与有记忆信源熵的差异，这对于理解和应用信息论在通信和数据压缩等领域至关重要。