信息论基础：连续信源的微分熵与熵概念解析

"该资源是一份关于信息论基础的教程，由李刚（ligang6867@ies.ustb.edu.cn）编写，由北京邮电大学出版社出版。教程涵盖了信息论的基本概念，如信息的度量、信源及信息熵、信道及信道容量等，深入探讨了连续信源的微分熵和离散熵的相似性与差异。" 在信息论中，微分熵是用于描述连续信源不确定性的一个概念，它类似于离散信源的熵，但并不直接代表连续信源的平均不确定性或信息量。微分熵的定义是针对连续随机变量的，它通常表示为函数： \[ H(X) = -\int_{-\infty}^{\infty} p(x) \log_b p(x) dx \] 其中，\( p(x) \) 是连续随机变量 \( X \) 的概率密度函数，\( b \) 是基数，通常取2对应于比特单位。尽管微分熵不具备非负性，像离散熵那样，但它仍保持了一些关键性质，如可加性，即两个独立连续随机变量的联合熵等于它们各自熵的和。 此外，联合熵是描述两个或多个随机变量之间不确定性总和的量，对于连续随机变量 \( X \) 和 \( Y \)，其定义为： \[ H(X, Y) = -\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} p(x, y) \log_b p(x, y) dx dy \] 条件熵则是衡量在已知另一个随机变量的情况下，一个随机变量的不确定性，对于连续随机变量 \( X \) 和 \( Y \)，条件熵 \( H(Y|X) \) 定义为： \[ H(Y|X) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x) H(Y|X=x) dx \] 这里，\( H(Y|X=x) \) 是在已知 \( X \) 取值为 \( x \) 的条件下随机变量 \( Y \) 的条件熵。 信息论的主要目的是通过数学方法研究信息的产生、传输和处理。它始于Claude Shannon在1948年的开创性工作，通过引入信息熵的概念，为通信系统的分析和优化提供了理论基础。信息熵作为衡量信源不确定性或信息含量的工具，是理解数据压缩、信道编码和通信效率的关键。 在通信系统模型中，信息论不仅关注信息的传输，还关注信息在通信前后的不确定性变化，即信息量的传递。例如，通过计算信源熵和接收端的剩余不确定性，可以评估通信的有效性。 信息论的研究内容广泛，包括但不限于无失真信源编码理论，旨在找到最小化编码长度的编码方法，同时保持解码后信息的完整性；有噪信道编码理论，探讨在存在噪声的信道中如何传输信息以确保可恢复性；以及限失真信源编码，允许一定程度的重构误差，但要控制在可接受的范围内。 信息论是通信科学的核心，通过概率论和统计方法，为理解和优化信息处理提供了一套强大的数学工具。